问题及解答

定理(Sylow 第二定理)  设有限群 $G$ 的阶为 $p^{\ell}\cdot m$, 其中 $p$ 为素数, 且 $(p,m)=1$. $P$ 为 $G$ 的一个 Sylow $p$-子群. 于是 $G$ 的任何一个阶为 $p^k$ $(k\leqslant\ell)$ 的子群 $H$ 必定包含在一个与 $P$ 共轭的 Sylow $p$-子群中.

[Idea] 考虑 $H$ 在 $X=\{gP\mid g\in G\}$ 上的作用.

特别地, 若 $H$ 是 $G$ 的 Sylow $p$-子群, 则 $H\subset gPg^{-1}$. 又 $|H|=|P|=p^{\ell}$, 故 $H=gPg^{-1}$. 因此有下面的推论.

推论. 有限群 $G$ 的任两个 Sylow $p$-子群都相互共轭.

该推论又得出下面的结论.

命题. 有限群 $G$ 有惟一的 Sylow $p$-子群 $P$ 当且仅当 $P$ 在 $G$ 中正规.

(Pf. $H=gPg^{-1}=P$.)

Sylow 第一定理

Sylow 第三定理

References:

聂灵沼, 丁石孙  《代数学引论》

Pf.  设 $H$ 是 $G$ 中阶为 $p^k$ $(k\leqslant\ell)$ 的一个子群. 考虑 $P$ 在 $G$ 中的所有左陪集构成的集合

\[
X=\{gP\mid g\in G\}.
\]

则 $|X|=m$.  定义 $H$ 在 $X$ 上的作用如下:

\[
\begin{array}{rcl}
H\times X & \rightarrow & X\\
(h,x) & \mapsto & h.x
\end{array}
\]

这里 $x=gP$, 故 $h.x=h(gP)=(hg)P$. （验证这是一个群作用.）

注意到 $|H|=p^k$, $|X|=m$ 且 $(p,m)=1$, 根据$p$-群在有限集上作用存在不动点的命题（问题3270）, 知上面的群作用存在不动点 $gP$, 即

\[
HgP=gP\ .
\]

于是

\[
g^{-1}HgP=P,
\]

而 $P$ 是一个群, 故 $g^{-1}Hg$ 中的任意一个元素都在 $P$ 中, 即 $g^{-1}Hg\subset P$, 这推出 $H\subset gPg^{-1}$.