定理(Sylow 第三定理) 设 $G$ 为一有限群, $p$ 是素数且 $p$ 整除 $|G|$, $k$ 是 $G$ 中全部 Sylow $p$-子群的个数. 则 $k\equiv 1\pmod p$.
[Idea] 这里首先得证明 $G$ 的所有 Sylow $p$-子群的个数整除 $|G|$, 然后应用 $p$-群作用在有限集 $X$ 上的性质（见问题3273）.
推论. 设 $G$ 是有限群, $|G|=n=p^{\ell}m$, 且 $(p,m)=1$, $p$ 是素数, 则 $G$ 的 Sylow $p$-子群的个数是 $m$ 的因子.
References:
聂灵沼, 丁石孙 《代数学引论》
1
Pf. 设 $|G|=n=p^{\ell}\cdot m$, 且 $(p,m)=1$. 令 $X$ 为 $G$ 中全体 Sylow $p$-子群组成的集合.（当然 $X$ 是有限集.）即
\[
X=\{P\mid P < G,\ \text{且}\ |P|=p^{\ell}\}.
\]
（构造集合后, 我们一般要考虑某个群在该集合上的群作用.）
定义 $G$ 在 $X$ 上的作用为:
\[
\begin{array}{rcl}
G\times X &\rightarrow & X\\
(g,P) &\mapsto & g.P
\end{array}
\]
此处 $g.P=gPg^{-1}=\{gxg^{-1}\mid x\in P\}$. （验证这是一个群作用.）
根据 Sylow 第二定理, $G$ 的任两个 Sylow $p$-子群互相共轭, 即上面所定义的 $G$ 在 $X$ 上的作用是传递的, 也即只有一个轨道 $X$.
取 $P\in X$, $P$ 的稳定子群 $H_P=\{g\in G\mid gPg^{-1}=P\}=N(P)$. 于是
\[
|X|=[G:N(P)],
\]
故 $|X|$ 整除 $|G|$.
2
Sylow 第三定理的证明.
证明. 设 $P\in X$, 即 $P$ 是 $G$ 的某个 Sylow $p$-子群. 现在考虑 $P$ 在 $X$ 上的作用. 群作用的定义同上. （或者说, 将上面 $G$ 在 $X$ 上的作用限制到 $P$ 上.）
\[
\begin{array}{rcl}
P\times X &\rightarrow & X\\
(g, P_i) &\mapsto & g.P_i
\end{array}
\]
此处 $g.P_i=gP_i g^{-1}$, $g\in P$. 特别地, 当 $P_i=P$ 时, $gPg^{-1}=P$, $\forall\ g\in P$. 即 $P$ 是该群作用的不动点.
事实上, $P$ 是该群作用下惟一的不动点.
Pf. 若不然, 设存在 $P_i\in X$ 满足 $gP_i g^{-1}=P_i$, $\forall\ g\in P$. 由于 $P_i$ 与 $P$ 共轭, 故对某个 $h\in G$, $P_i=hPh^{-1}$. 于是
\[
\begin{split}
&P_i=gP_i g^{-1}\\
\Rightarrow\ &hPh^{-1}=g(hPh^{-1})g^{-1}=ghP(gh)^{-1}\\
\Rightarrow\ &P=h^{-1}ghP(h^{-1}gh)^{-1}\\
\Rightarrow\ &h^{-1}gh\in N(P)
\end{split}
\]
由 $g$ 的任意性, $h^{-1}Ph\subset N(P)$. 从而由 $N(P)$ 中 Sylow $p$-子群的唯一性（$h^{-1}Ph$ 也是 $N(P)$ 的 Sylow $p$-子群, 由于 $P\triangleleft N(P)$, 故 $N(P)$ 的 Sylow $p$-子群是惟一的.）推出 $h^{-1}Ph=P$, 即有 $h\in N(P)$. 因此 $P_i=hPh^{-1}=P$.
上面我们根据 Sylow 第二定理的推论, 得出 $P$ 是 $X$ 中在此群作用下惟一的不动点, 即满足 $gP_i g^{-1}=P_i$ 推出 $P_i=P$.
一个更简单的证明（参考群论[07]：Sylow 定理 - 知乎 (zhihu.com)）是
若 $gP_i g^{-1}=P_i$, $\forall\ g\in P$, 这表明
\[P\subset\{g\in G\mid gP_i g^{-1}=P_i\}=N(P_i).\]
从而 $P$ 和 $P_i$ 同为 $N(P_i)$ 中的 Sylow $p$-子群, 由唯一性, 得 $P=P_i$.
再利用下面的结论即可得证.
Thm. 设 $p$-群 $G$ 作用在某个集合 $X$ 上, 若记 $|G|=n$, $|X|=k$, $t$ 为该作用的不动点个数, 则
\[
n\equiv t{\pmod p}\ .
\]