问题及解答

[Thm](Lagrange 定理) 设 $G$ 为一有限群, $H$ 是 $G$ 的一个子群, 则 $|H|$ 可整除 $|G|$.

Pf.  $H$ 是 $G$ 的子群, 则 $G$ 可以表示为 $H$ 的若干左陪集的并. (因为 $H$ 在 $G$ 中的任两个陪集要么相等要么不相交.)

\[
G=a_1 H\cup a_2 H\cup\cdots\cup a_m H,
\]

这里 $\{a_i H\}$ 彼此互不相交. 故而 $|G|=m|H|$.