问题及解答

Prop. 设 $G$ 是有限群, $P_r$ 和 $P_s$ 分别是 $G$ 的 Sylow $r$-子群和 Sylow $s$-子群, 若 $r\neq s$, 则 $P_r\cap P_s=\{e\}$.

Question: 什么条件下, $G$ 的 Sylow $p$-子群之间必有交集(指除了单位元之外有其他公共元素)?  当然, 此时 $G$ 的 Sylow $p$-子群不唯一.

Remark.  由于 $P_r$ 和 $P_s$ 都是群 $G$ 的 Sylow 子群, 故这里 $r$ 和 $s$ 都是素数.  利用有限群中每个元素的阶一定是 $|G|$ 的约数的结论（见问题3279）即可证明.

Pf.  假设 $P_r\cap P_s$ 中有不同于单位元 $e$ 的其他元素 $a$, 则 $a$ 的阶 $\mathrm{ord}(a) > 1$, 且 $\mathrm{ord}(a)$ 既是 $|P_r|$ 的因子又是$|P_s|$ 的因子, 而 $r\neq s$, 从而只能 $\mathrm{ord}(a)=1$. 矛盾.