$p$-群 $G$ 作用在有限集合 $X$ 上存在不动元素的条件.
命题. 设 $G$ 是 $p$-群, 作用在一个有限集合 $X$ 上. 若 $|X|=n$, 且 $(n,p)=1$, 则 $X$ 中必有不动点.
Answer
问题及解答
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Pf. 设 $X$ 在 $G$ 作用下的全部轨道为 $O_{x_1}, O_{x_2}, \ldots, O_{x_m}$. $x_i$ 是不动点的充要条件为 $|O_{x_i}|=1$.
由 $|O_{x}|=|G/H_x|$ 知 $|O_{x}|$ 整除 $|G|=p^{\ell}$. 因此, 若 $x_i$ 不是群作用下的不动点, 则 $|O_{x_i}|=p^h$, $h\geqslant 1$.
又
\[
n=|X|=\sum_{i=1}^{m}|O_{x_i}|,
\]
若 $(n,p)=1$, 则必存在某个 $i$, 使得 $|O_{x_i}|=1$, 即 $x_i$ 是不动点.