问题

定义(正规化子) 设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群, 令

\[
N(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}.
\]

容易验证 $N(H)$ 是 $G$ 的子群且 $H\subset N(H)$. 称 $N(H)$ 为子群 $H$ 的正规化子(normalization).

由定义, $H$ 是 $N(H)$ 的正规子群 ($H\triangleleft N(H)$. 任取 $g\in N(H)$, $gHg^{-1}\subset H$.)

一个自然的问题是,   $N(N(H))$ 是否等于 $N(H)$?  $N(H)$ 是否是 $G$ 的正规子群?

首先, $N(H)$ 是 $N(N(H))$ 的正规子群. 若 $N(N(H))=N(H)$,  则意为, 对任意 $g\in N(N(H))$, 即满足 $gN(H)g^{-1}=N(H)$ 的 $g$ 必属于 $N(H)$.

而 $N(H)\triangleleft G$ 指任取 $g\in G$, 有 $gN(H)g^{-1}=N(H)$.

由于 $G$ 是有限群, 我们可以得到一个有限的正规子群列:

\[
H\triangleleft N(H)\triangleleft N(N(H))\triangleleft N(N(N(H)))\triangleleft\cdots
\]

定理. 当 $H$ 是 $G$ 的 Sylow $p$-子群时, 有 $N(N(H))=N(H)$.

关于 Sylow $p$-子群, 参见问题3267.