问题及解答

定义(正规化子) 设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群, 令

\[
N(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}.
\]

容易验证 $N(H)$ 是 $G$ 的子群且 $H\subset N(H)$. 称 $N(H)$ 为子群 $H$ 的正规化子(normalization).

由定义, $H$ 是 $N(H)$ 的正规子群 ($H\triangleleft N(H)$. 任取 $g\in N(H)$, $gHg^{-1}\subset H$.)

一个自然的问题是,   $N(N(H))$ 是否等于 $N(H)$?  $N(H)$ 是否是 $G$ 的正规子群?

首先, $N(H)$ 是 $N(N(H))$ 的正规子群. 若 $N(N(H))=N(H)$,  则意为, 对任意 $g\in N(N(H))$, 即满足 $gN(H)g^{-1}=N(H)$ 的 $g$ 必属于 $N(H)$.

而 $N(H)\triangleleft G$ 指任取 $g\in G$, 有 $gN(H)g^{-1}=N(H)$.

由于 $G$ 是有限群, 我们可以得到一个有限的正规子群列:

\[
H\triangleleft N(H)\triangleleft N(N(H))\triangleleft N(N(N(H)))\triangleleft\cdots
\]

定理. 当 $H$ 是 $G$ 的 Sylow $p$-子群时, 有 $N(N(H))=N(H)$.

关于 Sylow $p$-子群, 参见问题3267.

我们证明, 当 $H$ 是群 $G$ 的 Sylow $p$-子群时, 其正规化子无法再正规化扩充, 即 $N(N(H))=N(H)$. 

(由于 Sylow $p$-子群一般记作 $P$, 故下面证明过程中, 将 $H$ 记作 $P$.)

证明: $H=P$ 是群 $G$ 的 Sylow $p$-子群, （由于 $P$ 是 $N(P)$ 的子群,）自然 $P$ 也是 $N(P)$ 的 Sylow $p$-子群. 又 $P\triangleleft N(P)$, 故 $P$ 是 $N(P)$ 中惟一的 Sylow $p$-子群. 也即, $N(P)$ 不可能包含 $G$ 的另一个 Sylow $p$-子群.

如果 $g\in N(N(P))$, 即

\[gN(P)g^{-1}=N(P),\]

那么

\[gPg^{-1}\subset gN(P)g^{-1}=N(P),\]

这说明 $gPg^{-1}$ 也是 $N(P)$ 的 Sylow $p$-子群, 由唯一性, $gPg^{-1}=P$. 此说明 $g\in N(P)$. 因此 $N(N(P))\subset N(P)$. 故

\[N(N(P))=N(P).\]