问题及解答

定理 (Sylow) 设 $G$ 是一有限群,  $p$ 是素数. 若 $p^k$ 整除 $|G|$, $k\geqslant 0$, 则 $G$ 中必存在一个阶为 $p^k$ 的子群.

这里 $|G|$ 指群 $G$ 的阶.

特别地,  当 $|G|=p^{\ell}m$, 且 $(p,m)=1$ 时, $G$ 有阶为 $p^{\ell}$ 的子群. 这种子群称为 $G$ 的 Sylow $p$-子群.

Sylow 第二定理

Sylow 第三定理

References:

聂灵沼, 丁石孙  《代数学引论》

Pf. 设 $|G|=n=p^\ell\cdot m$, 其中 $(p,m)=1$. 如果 $p^k$ 整除 $|G|$, 则 $\ell\geqslant k$. 令

\[X=\{A\subset G\mid |A|=p^k\},\]

则集合 $X$ 的基数为 $|X|=C_n^{p^k}$. 在集合 $X$ 上考虑群作用,

\[
\begin{array}{rcl}
G\times X &\rightarrow & X\\
(g, A) &\mapsto & g.A
\end{array}
\]

这里 $g.A$ 定义为 $gA=\{ga\mid a\in A\}$. （Ex. 验证这是一个群作用.）

于是 $X$ 可以分解为全部轨道的并,

\[
X=\cup O_A\ ,
\]

这里 $O_A$ 指 $A$ 在群作用下的轨道, $O_A=\{gA\mid g\in G\}$. 因此

\[
|X|=\sum |O_A|\ .
\]

注意这里 $|X|=C_n^{p^k}$, 由引理知, $p^{\ell-k+1}\not| |X|$. 因此至少存在一个轨道, 比如 $O_{A_0}$, 使得 $p^{\ell-k+1}\not| |O_{A_0}|$.

设 $H_{A_0}$ 是 $A_0$ 的稳定子群, 即 $H_{A_0}=\{g\in G\mid gA_0=A_0\}$. 于是由 $|O_{A_0}|=|G/H_{A_0}|$ 得 $p^k | |H_{A_0}|$.  （ $|G|=|O_{A_0}|\cdot|H_{A_0}|$, 因此 $p^{\ell}m=|O_{A_0}|\cdot |H_{A_0}|$, 而 $p^{\ell-k+1}\not| |O_{A_0}|$, 故必有 $p^k| |H_{A_0}|$.）

另一方面, 任取 $a\in A_0$, 既然 $H_{A_0}$ 是 $A$ 的稳定子群, 则必有 $H_{A_0}a\subset A_0$, 而 $|H_{A_0}a|=|H_{A_0}|$, 故

\[
|H_{A_0}|=|H_{A_0}a|\leqslant |A_0|=p^k,
\]

这推出 $|H_{A_0}|=p^k$, 即 $H_{A_0}$ 即为 $G$ 中阶为 $p^k$ 的子群.