称群 $G$ 是子群 $H,K$ 的直积, 如果 $H\trianglelefteq G$, $K\trianglelefteq G$, $G=HK$, 并且 $H\cap K=1$.

根据定义, 易见映射 $(h,k)\mapsto hk$ 是积集合 $H\times K\rightarrow G$ 的同构映射. 事实上, 如果 $h_1k_1=h_2k_2$, 则 $h_2^{-1}h_1=k_2k_1^{-1}=1$. 此时也记 $G=H\times K$, 即符号与积集合不加区别. 类似可规定群 $G$ 是 $n$ 个子群 $G_1,\ldots,G_n$ 的直积的意义.

设 $K, H$ 是群 $G$ 的子群.

• $K$ char $H$, $H$ char $G$, 则推出 $K$ char $G$.
• $K$ char $H$, $H\trianglelefteq G$, 则推出 $K\trianglelefteq G$.

一般的, $K\trianglelefteq H$, 且 $H\trianglelefteq G$ 并不能推出 $K\trianglelefteq G$, 试举例.

• 群 $G$ 的中心 $Z(G)$ 是 $G$ 的特征子群, 但不是全不变子群.

• 称群 $G$ 的子群 $H$ 为 $G$ 的特征子群, 如果 $\alpha(H)\subset H$, $\forall\,\alpha\in\text{Aut}(G)$. 这时记作 $H\ \text{char}\ G$.
• 称群 $G$ 的子群 $H$ 为 $G$ 的全不变子群, 如果 $\alpha(H)\subset H$, $\forall\,\alpha\in\text{End}(G)$.

根据定义, 全不变子群显然是特征子群.

• 群 $G$ 本身和单位群 1 显然都是 $G$ 的特征子群和全不变子群.
• 群 $G$ 的中心 $Z(G)$ 是 $G$ 的特征子群, 但不是全不变子群.

类似的, 正规子群可以这样定义: 称群 $H$ 为 $G$ 的正规子群, 如果 $\alpha(H)\subset H$, $\forall\ \alpha\in\sigma(G)$. 由于 $\sigma(G)\subset\text{Aut}(G)$, 故特征子群一定是正规子群.

设 $H\leq G$, 则 $N_G(H)/C_G(H)$ 同构于 $\text{Aut}(H)$ 的一个子群, 记作

设 $G$ 是有限单群, 则 $G$ 的外自同构群为可解群.

Otto Schreier 于 1926 年提出了此猜想. 由于单群分类问题已经解决, 这个猜想已对每个单群逐一验证而成为定理, 但目前没有更简短的证明.

设 $G$ 是群, $\text{Aut}(G)$ 表示 $G$ 的自同构群. $\sigma(G)$ 表示 $G$ 的全体内自同构组成的集合, 它是 $\text{Aut}(G)$ 的一个子群, 并且映射 $\sigma:g\mapsto \sigma_g$ 是 $G$ 到 $\sigma(G)$ 的一个满同态, 其核为 $G$ 的中心 $Z(G)$. 所以有:

• \[ \sigma(G)\cong G/Z(G). \]
• 设 $g\in G$, $\alpha\in\text{Aut}(G)$, 则 $\alpha^{-1}\sigma_g\alpha=\sigma_{\alpha(g)}$.
• $\sigma(G)\trianglelefteq\text{Aut}(G)$.

设 $G$ 是群, 固定 $g\in G$, 映射 $\sigma_g:G\rightarrow G$, via $\sigma_g(a)=g^{-1}ag$ 定义了 $G$ 的一个自同构, 称为由 $g$ 诱导的 $G$ 的内自同构.

由所有内自同构构成的集合 $\sigma(G)=\{\sigma_g\mid g\in G\}$ 构成了一个群, 称为内自同构群, 它是 $\text{Aut}(G)$ 的一个子群.

称 $\text{Aut}(G)\setminus\sigma(G)$ 中的元素为 $G$ 的外自同构, 而称 $\text{Aut}(G)/\sigma(G)$ 为 $G$ 的外自同构群.