环 $A$ 上的一个非零模 $M$, 如果其子模仅有 $\{0\}$ 和 $M$ 自身, 则称 $M$ 是单模(simple module), 也称不可约模(irreducible module).

证明: 

\[
\mathbb{Q}(\sqrt{3})=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}.
\]

\[
\mathbb{R}(\sqrt{-1})=\{a+b\sqrt{-1}\mid a,b\in\mathbb{R}\}.
\]

回忆域 $\mathbb{F}(X)$ 的定义

\[
\mathbb{F}(X)=\{\frac{f}{g}\mid f,g\in\mathbb{F}[X]; g\neq 0\}.
\]

$\mathbb{F}(X)$ 是由 $\mathbb{F}$ 添加 $X$ 所成的域, 它是包含 $\mathbb{F}$ 的最小扩充域.

参考 [1] 附录一

References:

[1] 伍鸿熙, 吕以辇, 陈志华  著 《紧黎曼曲面引论》

环 $R$ 如果满足其每个理想升链都是有限终止的, 具体的, 假设 $I_1\subset I_2\subset\cdots\subset I_{k-1}\subset I_{k}\subset I_{k+1}\subset\cdots$ 是 $R$ 中的理想升链, 则存在 $n$, 使得 $I_n=I_{n+1}=\cdots$. 则我们称 $R$ 是 Noether Ring(诺特环).

对于非交换环, 我们要区分下面三个非常类似的概念:

(1) 如果环 $R$ 的每个左理想升链都是有限终止的, 则称 $R$ 是左诺特环.

(2) 如果环 $R$ 的每个右理想升链都是有限终止的, 则称 $R$ 是右诺特环.

(3) 环 $R$ 如果既是左诺特环又是右诺特环, 则称 $R$ 是诺特环.

注意, 如果 $R$ 是一个(含有幺元的)交换环, 则上面三种定义恰好是等同的. 一般情形下（非交换环情形）是不同的, 即存在这样的左诺特环, 但不是右诺特环.  类似的, 存在这样的右诺特环, 但它不是左诺特环.

关于左诺特环(以及右诺特环, 诺特环)有几个等价的定义.

(1) 环 $R$ 的每个左理想 $I$ 是有限生成的, 即存在 $a_1,a_2,\ldots,a_n\in I$, 使得 $I=Ra_1+Ra_2+\cdots Ra_n$.

(2) 环 $R$ 的每个左理想 $I$ 的每个非空子集, 对于由包含关系构成的偏序, 总存在关于集合包含关系的一个极大元.

例子:

域 $k$ 上的多项式环 $k[x_1,\ldots,x_n]$ 是一个诺特环.

[Thm] (by I. S. Cohen) 对于交换环, 如果它的每个素理想都是有限生成的, 则是一个 Noether Ring(诺特环).

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Noetherian_ring

[Def]唯一分解整环是指一个带有幺元的交换整环, 满足下面的条件:

其中每个非零非单位元可以写成一些不可约元素（素元素）的乘积, 该乘积在不考虑乘法次序和单位元的情况下是唯一的.

设 $A$ 是一个环, 考虑 $X\subset A$. 定义 $X$ 的（关于 $A$ 的）根(radical) 是

\[
r(X)=\{z\in A\mid z^n\in X,\ \exists\ n\geqslant 1\}.
\]

也就是说, $r(X)$ 是由 $X$ 中元素的所有 $n$ 次根组成, 这里 $n\geqslant 1$. 易见 $X\subset r(X)$.

显然

\[
r(\cup_{\alpha}X_{\alpha})=\cup_{\alpha}r(X_{\alpha})
\]

References:

http://www.maths.usyd.edu.au/u/de/AGR/CommutativeAlgebra/pp209-223.pdf

令 $Z$ 是整数环, 证明 $Z$ 模 $Z^n=Z\oplus Z\oplus\cdots\oplus Z$ 的子模都是自由的.