问题

设 $A$ 是一个环, 考虑 $X\subset A$. 定义 $X$ 的（关于 $A$ 的）根(radical) 是

\[
r(X)=\{z\in A\mid z^n\in X,\ \exists\ n\geqslant 1\}.
\]

也就是说, $r(X)$ 是由 $X$ 中元素的所有 $n$ 次根组成, 这里 $n\geqslant 1$. 易见 $X\subset r(X)$.

显然

\[
r(\cup_{\alpha}X_{\alpha})=\cup_{\alpha}r(X_{\alpha})
\]

References:

http://www.maths.usyd.edu.au/u/de/AGR/CommutativeAlgebra/pp209-223.pdf