问题

证明: 

\[
\mathbb{Q}(\sqrt{3})=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}.
\]

\[
\mathbb{R}(\sqrt{-1})=\{a+b\sqrt{-1}\mid a,b\in\mathbb{R}\}.
\]

回忆域 $\mathbb{F}(X)$ 的定义

\[
\mathbb{F}(X)=\{\frac{f}{g}\mid f,g\in\mathbb{F}[X]; g\neq 0\}.
\]

$\mathbb{F}(X)$ 是由 $\mathbb{F}$ 添加 $X$ 所成的域, 它是包含 $\mathbb{F}$ 的最小扩充域.

参考 [1] 附录一

References:

[1] 伍鸿熙, 吕以辇, 陈志华  著 《紧黎曼曲面引论》