证明:
\[
\mathbb{Q}(\sqrt{3})=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}.
\]
\[
\mathbb{R}(\sqrt{-1})=\{a+b\sqrt{-1}\mid a,b\in\mathbb{R}\}.
\]
回忆域 $\mathbb{F}(X)$ 的定义
\[
\mathbb{F}(X)=\{\frac{f}{g}\mid f,g\in\mathbb{F}[X]; g\neq 0\}.
\]
$\mathbb{F}(X)$ 是由 $\mathbb{F}$ 添加 $X$ 所成的域, 它是包含 $\mathbb{F}$ 的最小扩充域.
参考 [1] 附录一
References:
[1] 伍鸿熙, 吕以辇, 陈志华 著 《紧黎曼曲面引论》
1
根据扩充域的定义,
\[
\mathbb{Q}(\sqrt{3})=\biggl\{\frac{a+b\sqrt{3}}{c+d\sqrt{3}}\mid a,b,c,d\in\mathbb{Q}; (c,d)\neq(0,0)\biggr\}.
\]
而
\[
\begin{split}
\frac{a+b\sqrt{3}}{c+d\sqrt{3}}&=\frac{(a+b\sqrt{3})(c-d\sqrt{3})}{(c+d\sqrt{3})(c-d\sqrt{3})}=\frac{(ac-3bd)+(bc-ad)\sqrt{3}}{c^2-3d^2}\\
&=\frac{ac-3bd}{c^2-3d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-3d^2}\cdot\sqrt{3},
\end{split}
\]
因为 $c,d\in\mathbb{Q}$, 所以 $c^2-3d^2\neq 0$. 故
\[
\frac{ac-3bd}{c^2-3d^2},\quad\frac{bc-ad}{c^2-3d^2}\in\mathbb{Q}
\]