问题及解答

设 $a+b+c=x$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}$, 这里 $x > 0$. 若 $k$ 是正的奇数, 用 $x$ 表示

\[\frac{1}{a^{k}}+\frac{1}{b^{k}}+\frac{1}{c^{k}}.\]

当 $x=2022$, $k=2023$ 时, 即为网上的一道题目. 

参考 [1]

References:

[1] 越南全国高中数学竞赛试题_哔哩哔哩_bilibili

给条件中式子加以标号, 如下.

\[
\begin{aligned}
a+b+c&=x,\quad(1)\\
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}&=\frac{1}{x}.\quad(2)
\end{aligned}
\]

由此得

\[
\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.
\]

将 $\frac{1}{a}$ 移到左边, 并且两边通分, 

\[
\frac{-(b+c)}{a(a+b+c)}=\frac{b+c}{bc}\qquad(3).
\]

若 $b+c=0$, 则由 (1) 得 $a=x$, 注意 $k$ 是奇数, 得

\[
\begin{split}
&\frac{1}{a^k}+\frac{1}{b^k}+\frac{1}{c^k}\\
=&\frac{1}{x^k}+\frac{1}{b^k}+\frac{1}{(-b)^k}\\
=&\frac{1}{x^k}+\frac{1}{b^k}+\frac{1}{-b^k}\\
=&\frac{1}{x^k}.
\end{split}
\]

若 $b+c\neq 0$, 则由 (3) 得

\[
\begin{split}
&a(a+b+c)=-bc\\
\Rightarrow\ &a(a+b)+ac+bc=0\\
\Rightarrow\ &a(a+b)+(a+b)c=0\\
\Rightarrow\ &(a+b)(a+c)=0 
\end{split}
\]

这推出 $a+b=0$ 或 $a+c=0$. 和上面同样推理, 知

\[\frac{1}{a^k}+\frac{1}{b^k}+\frac{1}{c^k}=\frac{1}{x^k}.\]

证毕.