问题

设 $M$ 和 $N$ 是微分流形, $N$ 的维数 $\dim N=n$. 又设 $f:M\to N$ 是可微映射.

(1) 若 $p\in M$ 满足 ${\text{rank}}_{p}f<n$, 则称 $p$ 为 $f$ 的临界点.

(2) 若 $p\in M$ 满足 ${\text{rank}}_{p}f=n$, 则称 $p$ 为 $f$ 的正则点.

记 $f$ 的全体临界点的集合为 $C_f$ 或 $C(f)$. 全体正则点的集合就是 $M-C_f$.

(3) 若 $q\in N$ 满足 $f^{-1}(q)\cap C_f\ne \mathrm{\varnothing }$, 那么就称 $q$ 为 $f$ 的临界值.

(4) 若 $q\in N$ 满足 $f^{-1}(q)\cap C_f=\mathrm{\varnothing }$, 那么就称 $q$ 为 $f$ 的正则值.

$f$ 的全体临界值的集合就是 $f(C_f)$. $f$ 的全体正则值的集合是 $N-f(C_f)$. ($N$ 中的点不是正则值就是临界值, $M$ 中的点不是正则点就是临界点.)

注意全体正则值集合不是 $f(M-C_f)$.

(临界值的原像中不一定都是临界点, 正则点的像未必是正则点. 举个例子?)