问题及解答

$S^n$ 具有处处不为 0 的切向量场的充要条件是: $n$ 是奇数.

换言之, 偶数维球面 $S^{2m}$ 上的每一个向量场都有一点处为零(向量).

References:

张筑生 编著 《微分拓扑讲义》 北京大学出版社. P.185 习题 I.7

Nigel Hitchin, Differentiable Manifolds, Course C3.1b 2012. [P63. Theorem 7.4] [pdf]

(方法一)

(方法二)

用反证法, 假设 $S^{2m}$ 上存在处处非零的向量场 $V$. 由于 $S^{2m}$ 嵌入欧氏空间 ${\mathbb{E}}^{2m+1}$, 因此向量场 $V$ 可以看成下面的映射

$$V:S^{2m}\to {\mathbb{E}}^{2m+1},⟨x,V(x)⟩=0$$

由于 $V(x)\ne 0$, $\mathrm{\forall }x\in S^{2m}$, 因此不妨将它单位化, 所得的向量场仍记为 $V$.

现在定义映射

$$\begin{array}{rcl}{F}_t:S^{2m}& \to & {\mathbb{E}}^{2m+1}\\ x& \mapsto & (\cos t)x+(\sin t)V(x).\end{array}$$

由于 $⟨x,V(x)⟩=0$, 故

$$⟨(\cos t)x+(\sin t)V(x),(\cos t)x+(\sin t)V(x)⟩=1$$

因此, $F_t$ 将单位球面 $S^{2m}$ 映到自身, 并且

$$F_0(x)=x,F_{\pi }(x)=-x.$$

令 $\omega$ 是 $S^{2m}$ 上的标准可定向微分形式:

$$\omega =\frac{1}{x_{2m+1}}d{x}_1\wedge d{x}_2\wedge \cdots \wedge d{x}_{2m}.$$

我们看到

$$F_0^{\ast }\omega =\omega ,F_{\pi }^{\ast }\omega =-\omega .$$

但由 Theorem 6.7, 映射 $F_0^{\ast }$, $F_{\pi }^{\ast }$ 在 $H^{2m}(S^{2m})$ 上是一样的. 这推出

$$[\omega ]=[-\omega ]=-[\omega ]$$

因此 $[\omega ]=0$. 这与 $\omega$ 在 $S^{2m}$ 上的积分为正矛盾. 因此 $S^{2m}$ 上的向量场必有零点.