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判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性.

Posted by haifeng on 2022-12-08 21:06:39 last update 2022-12-08 21:22:44 | Answers (0) | 收藏


判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性.

 

[Hint] 令 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$, $b_n=\sin n$, 使用 Dirichlet 判别法.

此外, 也可以考虑转换为反常积分.

\[
\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x
\]

 

关于 $\int_0^{+\infty}\sin x^2\mathrm{d}x$ 的计算需要使用复变函数的知识, 见问题2596 .