问题

定理 (Dirichlet). 设数列 $\{a_n\}$ 单调趋于 0, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 的部分和有界, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$ 收敛.

[Hint] 要证 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$ 收敛, 由 Cauchy 收敛定理, 即要证明: 对任意给定的 $\varepsilon$, 存在 $N$, 当 $n > N$ 时, 对任意的正整数 $p$, 有

\[
\biggl|\sum_{i=n+1}^{n+p}a_i b_i\biggr| < \varepsilon
\]

这里需要用到 Abel 变换及其推论.