Questions in category: 级数 (Infinite Series)
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11. 求级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n$ 的敛散性.

Posted by haifeng on 2020-12-16 10:52:37 last update 2020-12-16 10:52:37 | Answers (2) | 收藏


求级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n$ 的敛散性.

类似的, 求级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos n$ 的敛散性.

12. 计算 $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+2+\cdots+k}$

Posted by haifeng on 2020-10-29 17:06:07 last update 2022-09-20 20:20:39 | Answers (1) | 收藏


计算

\[1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+3+\cdots+n}\]

 

并求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+3+\cdots+n}\biggr)
\]

13. 求 $\arctan\frac{1+x}{1-x}$ 的幂级数展开式.

Posted by haifeng on 2020-01-17 07:39:15 last update 2022-04-27 08:11:21 | Answers (1) | 收藏


证明恒等式

\[
\arctan\frac{1+x}{1-x}=\frac{\pi}{4}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
\]

这里 $x\in[-1,1]$.

 

由此可得 Leibniz 公式

\[
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots
\]


 

验证 $\arctan\frac{1+x}{1-x}$ 和 $\arctan x$ 的导函数是一样的, 因此它们相差一个常数. 事实上,

\[
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
\]

因此,

\[
\arctan\frac{1+x}{1-x}=\frac{\pi}{4}+\arctan x.
\]

这个恒等式, 也可以通过初等几何证明.  见问题2383的证明.

 

14. 求幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[3+(-1)^n]^n}{n}x^n$ 的收敛域.

Posted by haifeng on 2019-12-19 15:20:51 last update 2020-01-14 17:20:45 | Answers (3) | 收藏


求幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[3+(-1)^n]^n}{n}x^n$ 的收敛域.

 

注意: 这里使用比值、根值去算收敛半径行不通, 因为此例中 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|$ 与 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ 不存在.

15. 设数列 $na_n$ 收敛, 且级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(a_n-a_{n-1})$ 收敛, 证明级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 也是收敛的.

Posted by haifeng on 2019-12-19 14:50:00 last update 2019-12-19 14:50:46 | Answers (1) | 收藏


设数列 $na_n$ 收敛, 且级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(a_n-a_{n-1})$ 收敛, 证明级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 也是收敛的.

 

References:

梅加强, 《数学分析》 习题 8.1, P.277.  第5题 

16. 设级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 的部分和为 $S_n$. 如果 $S_{2n}\rightarrow S$, 且 $a_n\rightarrow 0$, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛.

Posted by haifeng on 2019-12-17 21:04:24 last update 2019-12-17 21:04:24 | Answers (0) | 收藏


设级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 的部分和为 $S_n$. 如果 $S_{2n}\rightarrow S$, 且 $a_n\rightarrow 0$, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛.

 

 

References:

梅加强, 《数学分析》 习题8.1(P.277)  Ex. 3

17. 将 $\arctan x$ 展开成关于 $x$ 的幂级数

Posted by haifeng on 2019-12-17 20:18:22 last update 2020-01-17 11:13:59 | Answers (1) | 收藏


证明:

\[
\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots
\]

并导出 Machin 公式

 

References:

梅加强, 《数学分析》Section 9.4, P. 341

18. 使用 Machin 公式计算 $\pi$

Posted by haifeng on 2019-12-17 19:49:58 last update 2019-12-17 20:08:16 | Answers (0) | 收藏


Machin 公式

\[
\pi=16\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)5^{2n+1}}-4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)239^{2n+1}}
\]

这个公式已经可以用于实际的计算了. (1706 年, Machin 用这个公式将 $\pi$ 计算到了小数点后 100 位).

Reference:

梅加强, 《数学分析》Section 9.4,  P. 341.


 

下面使用 Calculator 中sum()函数进行计算.  首先设置计算精度为小数点后200位.
>> setprecision(200)

>> sum((-1)^n/((2*n+1)*5^(2*n+1)),n,0,100)
in> sum((0-1)^n/((2*n+1)*5^(2*n+1)),n,0,100)

out> 0.19739555984988075837004976519479029344758510378785210151768894024103396997824378573269782803728804411262811807369136010445647988679423935574756610436426519783815939958213242811317823855439513093348319

------------------------

>> sum((-1)^n/((2*n+1)*239^(2*n+1)),n,0,100)
in> sum((0-1)^n/((2*n+1)*239^(2*n+1)),n,0,100)

out> 0.00418407600207472386453821495928545274104806530763195082701961288718177834142289327378260581362290945497545066644486375605245839478931186505892212883309280084627196233077337594763460331847341457033195

------------------------

>> 16*0.19739555984988075837004976519479029344758510378785210151768894024103396997824378573269782803728804411262811807369136010445647988679423935574756610436426519783815939958213242811317823855439513093348319-4*0.00418407600207472386453821495928545274104806530763195082701961288718177834142289327378260581362290945497545066644486375605245839478931186505892212883309280084627196233077337594763460331847341457033195
in> 16*0.19739555984988075837004976519479029344758510378785210151768894024103396997824378573269782803728804411262811807369136010445647988679423935574756610436426519783815939958213242811317823855439513093348319-4*0.00418407600207472386453821495928545274104806530763195082701961288718177834142289327378260581362290945497545066644486375605245839478931186505892212883309280084627196233077337594763460331847341457033195

out> 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172536915449587196202546254399102534602031340359642843665440324

 

精确到小数点后141位, 即

 

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253

 

 

19. $\arctan\frac{1+x}{1-x}$ 与 $\arctan x$ 的关系

Posted by haifeng on 2019-12-17 13:57:08 last update 2022-04-27 08:16:33 | Answers (4) | 收藏


证明:

(1) 当 $x > 1$ 时, 

\[
\arctan x-\arctan\frac{1+x}{1-x}=\frac{3\pi}{4},
\]

(2) 当 $x < 1$ 时, 

\[
\arctan\frac{1+x}{1-x}-\arctan x=\frac{\pi}{4}.
\]

 

这里还给出了关于(2)的两个几何证明.

20. 求下列级数的和

Posted by haifeng on 2019-12-17 13:38:35 last update 2019-12-17 13:38:46 | Answers (1) | 收藏


\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(2n-1)}
\]

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