1996年, Baily, Borwein 和 Plouffe 发现了下面的公式:

\[
\pi=\sum_{k=0}^{\infty}\biggl(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}\biggr)\frac{1}{16^k}
\]

他们利用这个公式证明了, 在二进制下可以直接计算 $\pi$ 的第 $n$ 位小数而无需知道其前 $n-1$ 位小数的值.

S0025-5718-97-00856-9.pdf (ams.org)

贝拉(Bellard)在1997年获得了贝拉公式

\[
\pi=\frac{1}{2^6}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{10n}}\biggl(-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9}\biggr)
\]

Remark:

摘自 梅加强 编著《数学分析》P.342.

References:

https://baike.baidu.com/item/贝拉公式

级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sin n}{n}$ 是否收敛?

一般的, 对于交错级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$, 若 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ 但 $u_n$ 并非递减, 能否举出收敛与不收敛的具体例子? 

注意 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}$ 收敛.  特别地, 当 $x=1$ 时, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}$ 收敛.

P. 310    习题 7.3

1.  求下列幂级数的收敛域.

(3)    $x+\dfrac{4}{2!}x^2+\dfrac{9}{3!}x^3+\dfrac{16}{4!}x^4+\cdots$

(7)    $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-4)^n}{n+1}x^{2n+1}$

3.  利用幂级数的性质求下列幂级数的和函数.

(4)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx^{n+1}$

P. 299--300   习题 7.2

1.  判别下列级数的收敛性.

(5)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^2}$

3.  判别下列级数的收敛性.

(3)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n\cdot n!}{n^n}$

4.  判别下列级数的收敛性.

(4)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{[\ln(n+1)]^n}$

6.  判定下列级数是否收敛? 如果收敛, 是条件收敛还是绝对收敛?

(4)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin na}{\sqrt{n^3}}$

设 $|a_n|\leqslant b_n$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 也收敛.

参考自 [1] P. 278, Ex 11.

References:

[1] 梅加强  编著 《数学分析》 高等教育出版社.

求级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n$ 的敛散性.

类似的, 求级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos n$ 的敛散性.

计算

\[1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+3+\cdots+n}\]

并求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+3+\cdots+n}\biggr)
\]

证明恒等式

\[
\arctan\frac{1+x}{1-x}=\frac{\pi}{4}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
\]

这里 $x\in[-1,1]$.

由此可得 Leibniz 公式

\[
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots
\]

验证 $\arctan\frac{1+x}{1-x}$ 和 $\arctan x$ 的导函数是一样的, 因此它们相差一个常数. 事实上,

\[
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
\]

因此,

\[
\arctan\frac{1+x}{1-x}=\frac{\pi}{4}+\arctan x.
\]

这个恒等式, 也可以通过初等几何证明.  见问题2383的证明.

求幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[3+(-1)^n]^n}{n}x^n$ 的收敛域.

注意: 这里使用比值、根值去算收敛半径行不通, 因为此例中 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|$ 与 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ 不存在.

设数列 $na_n$ 收敛, 且级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(a_n-a_{n-1})$ 收敛, 证明级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 也是收敛的.

References:

梅加强, 《数学分析》 习题 8.1, P.277.  第5题