1996年, Baily, Borwein 和 Plouffe 发现了下面的公式:

$$\pi =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6})\frac{1}{{16}^k}$$

他们利用这个公式证明了, 在二进制下可以直接计算 $\pi$ 的第 $n$ 位小数而无需知道其前 $n-1$ 位小数的值.

S0025-5718-97-00856-9.pdf (ams.org)

贝拉(Bellard)在1997年获得了贝拉公式

$$\pi =\frac{1}{2^6}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2^{10n}}(-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9})$$

Remark:

摘自 梅加强 编著《数学分析》P.342.

References:

https://baike.baidu.com/item/贝拉公式

级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{\sin n}{n}$ 是否收敛?

一般的, 对于交错级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{u}_n$, 若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ 但 $u_n$ 并非递减, 能否举出收敛与不收敛的具体例子? 

注意 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin nx}{n}$ 收敛.  特别地, 当 $x=1$ 时, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin n}{n}$ 收敛.

P. 310    习题 7.3

1.  求下列幂级数的收敛域.

(3)    $x+{\displaystyle \frac{4}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{9}{3!}}{x}^3+{\displaystyle \frac{16}{4!}}{x}^4+\cdots$

(7)    $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(-4{)}^n}{n+1}}{x}^{2n+1}$

3.  利用幂级数的性质求下列幂级数的和函数.

(4)    $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n+1}$

P. 299--300   习题 7.2

1.  判别下列级数的收敛性.

(5)    $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln n}{n^2}}$

3.  判别下列级数的收敛性.

(3)    $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2^n\cdot n!}{n^n}}$

4.  判别下列级数的收敛性.

(4)    $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{[\ln (n+1){]}^n}}$

6.  判定下列级数是否收敛? 如果收敛, 是条件收敛还是绝对收敛?

(4)    $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin na}{\sqrt{n^3}}}$

设 $|a_n|⩽b_n$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 收敛, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 也收敛.

参考自 [1] P. 278, Ex 11.

References:

[1] 梅加强  编著 《数学分析》 高等教育出版社.

求级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin n$ 的敛散性.

类似的, 求级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos n$ 的敛散性.

计算

$$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots +\frac{1}{1+2+3+\cdots +n}$$

并求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots +\frac{1}{1+2+3+\cdots +n})$$

证明恒等式

$$\arctan \frac{1+x}{1-x}=\frac{\pi }{4}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}$$

这里 $x\in [-1,1]$.

由此可得 Leibniz 公式

$$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

验证 $\arctan \frac{1+x}{1-x}$ 和 $\arctan x$ 的导函数是一样的, 因此它们相差一个常数. 事实上,

$$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}.$$

因此,

$$\arctan \frac{1+x}{1-x}=\frac{\pi }{4}+\arctan x.$$

这个恒等式, 也可以通过初等几何证明.  见问题2383的证明.

求幂级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{[3+(-1{)}^n{]}^n}{n}{x}^n$ 的收敛域.

注意: 这里使用比值、根值去算收敛半径行不通, 因为此例中 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ 与 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|a_n|}$ 不存在.

设数列 $n{a}_n$ 收敛, 且级数 $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}n(a_n-a_{n-1})$ 收敛, 证明级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 也是收敛的.

References:

梅加强, 《数学分析》 习题 8.1, P.277.  第5题