设数列 $na_n$ 收敛, 且级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(a_n-a_{n-1})$ 收敛, 证明级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 也是收敛的.

References:

梅加强, 《数学分析》 习题 8.1, P.277.  第5题 

设级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 的部分和为 $S_n$. 如果 $S_{2n}\rightarrow S$, 且 $a_n\rightarrow 0$, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛.

References:

梅加强, 《数学分析》 习题8.1(P.277)  Ex. 3

证明:

\[
\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots
\]

并导出 Machin 公式

References:

梅加强, 《数学分析》Section 9.4, P. 341

Machin 公式

\[
\pi=16\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)5^{2n+1}}-4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)239^{2n+1}}
\]

这个公式已经可以用于实际的计算了. (1706 年, Machin 用这个公式将 $\pi$ 计算到了小数点后 100 位).

Reference:

梅加强, 《数学分析》Section 9.4,  P. 341.

下面使用 Calculator 中sum()函数进行计算.  首先设置计算精度为小数点后200位.
>> setprecision(200)

>> sum((-1)^n/((2*n+1)*5^(2*n+1)),n,0,100)
in> sum((0-1)^n/((2*n+1)*5^(2*n+1)),n,0,100)

out> 0.19739555984988075837004976519479029344758510378785210151768894024103396997824378573269782803728804411262811807369136010445647988679423935574756610436426519783815939958213242811317823855439513093348319

------------------------

>> sum((-1)^n/((2*n+1)*239^(2*n+1)),n,0,100)
in> sum((0-1)^n/((2*n+1)*239^(2*n+1)),n,0,100)

out> 0.00418407600207472386453821495928545274104806530763195082701961288718177834142289327378260581362290945497545066644486375605245839478931186505892212883309280084627196233077337594763460331847341457033195

------------------------

>> 16*0.19739555984988075837004976519479029344758510378785210151768894024103396997824378573269782803728804411262811807369136010445647988679423935574756610436426519783815939958213242811317823855439513093348319-4*0.00418407600207472386453821495928545274104806530763195082701961288718177834142289327378260581362290945497545066644486375605245839478931186505892212883309280084627196233077337594763460331847341457033195
in> 16*0.19739555984988075837004976519479029344758510378785210151768894024103396997824378573269782803728804411262811807369136010445647988679423935574756610436426519783815939958213242811317823855439513093348319-4*0.00418407600207472386453821495928545274104806530763195082701961288718177834142289327378260581362290945497545066644486375605245839478931186505892212883309280084627196233077337594763460331847341457033195

out> 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172536915449587196202546254399102534602031340359642843665440324

精确到小数点后141位, 即

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253

证明:

(1) 当 $x > 1$ 时, 

\[
\arctan x-\arctan\frac{1+x}{1-x}=\frac{3\pi}{4},
\]

(2) 当 $x < 1$ 时, 

\[
\arctan\frac{1+x}{1-x}-\arctan x=\frac{\pi}{4}.
\]

这里还给出了关于(2)的两个几何证明.

(1)

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(2n-1)}
\]

(2)

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n})
\]

(3)

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+3)}
\]

(4)

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}
\]

(5)

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}
\]

(6)

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}
\]

(1)  \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}\]

(2)  \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\]

(3) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n^2}}\]

(4) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^2 n}{n(n+1)}\]

(5) \[\sum_{n=1}^{\infty}\ln\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)\]

(6) \[\sum_{n=1}^{\infty}\biggl[\frac{1}{2n+1}+\frac{(-1)^n}{2n+2}\biggr]\]

梅加强 《数学分析》习题8.1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性.

设 $a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$, 求最小的正实数 $\lambda$, 使得对所有 $n\geqslant 2$, 都有

\[
a_n^2 < \lambda\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{k}.
\]

(1) $\frac{1}{1+x^2}$.

(2) $\frac{1}{x^2-5x+6}$.