设 $|a_n|\leqslant b_n$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 也收敛.
参考自 [1] P. 278, Ex 11.
References:
[1] 梅加强 编著 《数学分析》 高等教育出版社.
1
Pf. 首先注意到 $b_n\geqslant 0$.
任给 $\varepsilon > 0$, 由于 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛, 故存在 $N$, 当 $n > N$ 时, 对任意的 $p\geqslant 1$, 有
\[
b_{n+1}+b_{n+2}\cdots+b_{n+p}=|b_{n+1}+b_{n+2}\cdots+b_{n+p}| < \varepsilon
\]
因此,
\[
|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|\leqslant |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots+|a_{n+p}|\leqslant b_{n+1}+b_{n+2}\cdots+b_{n+p} < \varepsilon
\]
因此, 由 Cauchy 收敛法则, 知 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛.