设数列 $na_n$ 收敛, 且级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(a_n-a_{n-1})$ 收敛, 证明级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 也是收敛的.
References:
梅加强, 《数学分析》 习题 8.1, P.277. 第5题
1
级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(a_n-a_{n-1})$ 的前 $n-1$ 项为
\[
\begin{split}
T_n:=&\sum_{k=2}^{n}k(a_k-a_{k-1})\\
=&\sum_{k=2}^{n}ka_k-\sum_{k=2}^{n}ka_{k-1}\\
=&\sum_{k=2}^{n}ka_k-\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)a_{k}\\
=&\sum_{k=2}^{n}ka_k-\sum_{k=1}^{n-1}ka_{k}-\sum_{k=1}^{n-1}a_k\\
=&na_n-a_1-\sum_{k=1}^{n-1}a_k\\
\end{split}
\]
由于级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(a_n-a_{n-1})$ 收敛, 故极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}T_n$ 存在. 又根据条件极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}na_n$ 存在, 故 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=1}^{n-1}a_k$ 存在.
即级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛.