对任意实数 $x,y$, 证明 $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leqslant\sqrt{|x-y|}$.

设 $f(x)=\frac{|x|}{1+|x|}$, 证明: $f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$.

此题即证明不等式

\[
\frac{|a+b|}{1+|a+b|}\leqslant\frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}.
\]

Q.  能否再举个例子, 满足 $f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$?

设 $a_k\in\mathbb{R}$, $k=1,2,\ldots,n$. 证明:

\[\biggl|\sum_{k=1}^{n}a_k\biggr|\geqslant |a_1|-\sum_{k=2}^{n}|a_k|.\]

在证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1$ (此处 $a > 0$) 的过程中我们要用到一个不等式

\[
(1+x)^n\geqslant 1+nx,\quad x\geqslant -1.
\]

此不等式称为 Bounulli 不等式.

当 $x\geqslant 0$ 时证明很直接.

\[
(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots+x^n\geqslant 1+ nx.
\]

易见, $n\geqslant 2$ 时, 等号成立当且仅当 $x=0$.

当然, 对于一般的 $x\geqslant -1$, 可以用归纳法证明 Bernoulli 不等式.

事实上, 这个不等式有更一般的形式. 设 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 是 $n$ 个同号的实数, 且均大于 $-1$. 则有下面的不等式:

\[
(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\geqslant 1+x_1+x_2+\cdots+x_n.
\]