问题及解答

求级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n$ 的敛散性.

类似的, 求级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos n$ 的敛散性.

假设级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n$ 是收敛的, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sin n=0$.

而

\[
\sin(n+1)=\sin n\cdot\cos 1+\cos n\cdot\sin 1,
\]

两边取极限, 推出 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cos n=0$. 这与 $\sin^2 n+\cos^2 n=1$ 矛盾.

问: 能否直接证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sin n$ 不存在或即使存在也不等于0 ?

假设 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos n$ 收敛, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cos n=0$.

对

\[
\cos(n+1)=\cos n\cdot\cos 1-\sin n\cdot\sin 1
\]

两边取极限, 推出 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sin n=0$. 但这与 $\sin^2 n+\cos^2 n=1$ 矛盾.

故级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos n$ 发散.