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求 $\arctan\frac{1+x}{1-x}$ 的幂级数展开式.

Posted by haifeng on 2020-01-17 07:39:15 last update 2020-01-17 09:33:05 | Answers (1) | 收藏


证明恒等式

\[
\arctan\frac{1+x}{1-x}=\frac{\pi}{4}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
\]

这里 $x\in[-1,1]$.

 

由此可得 Leibniz 公式

\[
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots
\]