问题

证明恒等式

\[
\arctan\frac{1+x}{1-x}=\frac{\pi}{4}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
\]

这里 $x\in[-1,1]$.

由此可得 Leibniz 公式

\[
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots
\]

验证 $\arctan\frac{1+x}{1-x}$ 和 $\arctan x$ 的导函数是一样的, 因此它们相差一个常数. 事实上,

\[
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
\]

因此,

\[
\arctan\frac{1+x}{1-x}=\frac{\pi}{4}+\arctan x.
\]

这个恒等式, 也可以通过初等几何证明.  见问题2383的证明.