问题及解答

P. 310    习题 7.3

1.  求下列幂级数的收敛域.

(3)    $x+\dfrac{4}{2!}x^2+\dfrac{9}{3!}x^3+\dfrac{16}{4!}x^4+\cdots$

(7)    $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-4)^n}{n+1}x^{2n+1}$

3.  利用幂级数的性质求下列幂级数的和函数.

(4)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx^{n+1}$

1.  (3)

原级数为 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2}{n!}x^n$. 收敛半径为

\[
\begin{split}
R&=\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl|\frac{a_n}{a_{n+1}}\biggr|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{n^2}{n!}}{\frac{(n+1)^2}{(n+1)!}}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}\cdot\frac{(n+1)!}{n!}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}\cdot(n+1)\\
&=+\infty
\end{split}
\]

故收敛域为 $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$.

1.  (7)  注意这里级数中只有奇数次项.

(法一)

固定 $x$, 考虑对应的正项级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{4^n}{n+1}x^{2n+1}$, 此时视为数项级数. 记 $u_n=\dfrac{4^n}{n+1}x^{2n+1}$, 

\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{4^{n+1}}{n+2}x^{2n+3}}{\frac{4^n}{n+1}x^{2n+1}}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{n+2}\cdot 4x^2=4x^2.
\end{split}
\]

当 $4x^2 < 1$, 即 $|x| < \frac{1}{2}$ 时, 级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{4^n}{n+1}x^{2n+1}$ 收敛. 

当 $|x| > \frac{1}{2}$ 时, 该级数发散.

于是, 当 $x\in(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 时, 原级数绝对收敛. 

当 $x=-\frac{1}{2}$ 时,

\[
\begin{split}
\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{4^n}{n+1}x^{2n+1}&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{4^n}{n+1}(-\frac{1}{2})^{2n+1}\\
&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{2^{2n}}{n+1}\cdot\frac{-1}{2^{2n+1}}\\
&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{-1}{2(n+1)}
\end{split}
\]

此级数发散. 但原级数为

\[
\begin{split}
\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-4)^n}{n+1}x^{2n+1}&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-4)^n}{n+1}(-\frac{1}{2})^{2n+1}\\
&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n2^{2n}}{n+1}\cdot\frac{-1}{2^{2n+1}}\\
&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2(n+1)}
\end{split}
\]

收敛, 故此时原级数在 $x=-\frac{1}{2}$ 时条件收敛.

类似的, 原级数在 $x=\frac{1}{2}$ 时也是条件收敛. 

因此, 原级数的收敛域为 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.

Remark:

这里我们不必担心区间 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 之外还存在收敛点. 因为若存在 $x_1\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$, 使得原级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-4)^n}{n+1}x^{2n+1}$ 收敛, 根据 Abel 定理, 它在 $|x| < |x_1|$ 内绝对收敛. 而这是不可能的.

(法二)

注意到原级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-4)^n}{n+1}x^{2n+1}$ 在任何 $0\neq x\in\mathbb{R}$ 处都是交错级数.

固定 $x$, 若 $u_n=\dfrac{4^n}{n+1}x^{2n+1}$ 递减趋于0, 则由 Leibniz 定理, $x$ 就是此级数的收敛点.

不妨设 $x > 0$, 令

\[
\dfrac{4^n}{n+1}x^{2n+1} > \dfrac{4^{n+1}}{n+2}x^{2n+3}
\]

这等价于

\[
\frac{n+2}{n+1} > 4x^2
\]

即 $x^2 < \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{n+2}{n+1}$, 对任意 $n\in\mathbb{N}$ 成立. 右边取极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n+2}{n+1}=1$. 因此 $x$ 需满足

\[
x^2\leqslant\frac{1}{4}
\]

即 $x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.

对于 $x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$,

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4^n}{n+1}|x|^{2n+1}\leqslant\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{2n}}{n+1}\cdot(\frac{1}{2})^{2n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2(n+1)}=0.
\]

故根据 Leibniz 定理, 原级数对于 $x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 收敛.

Q. 不使用法一或Abel定理, 如何说明, 对于 $\forall\ x\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$, 级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-4)^n}{n+1}x^{2n+1}$ 发散?

3.  (4)

先求收敛半径.

\[
R=\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl|\frac{a_n}{a_{n+1}}\biggr|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}=1.
\]

因此收敛区间为 $(-1,1)$.

在收敛区间内, 可以逐项求导或逐项求积分.

\[
\begin{split}
\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n+1}&=x^2\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}\\
&=x^2\sum_{n=1}^{\infty}(x^n)'\\
&=x^2\cdot\Bigl(\sum_{n=1}^{\infty}x^n\Bigr)'\\
&=x^2\cdot(\frac{x}{1-x})'\\
&=x^2\cdot\frac{1\cdot(1-x)-x\cdot(-1)}{(1-x)^2}\\
&=\frac{x^2}{(1-x)^2}.
\end{split}
\]

当 $x=\pm 1$ 时, $|nx^{n+1}|=n\not\rightarrow 0$, 原级数发散.

故和函数为

\[S(x)=\dfrac{x^2}{(1-x)^2},\quad x\in(-1,1)\]