问题

1996年, Baily, Borwein 和 Plouffe 发现了下面的公式:

\[
\pi=\sum_{k=0}^{\infty}\biggl(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}\biggr)\frac{1}{16^k}
\]

他们利用这个公式证明了, 在二进制下可以直接计算 $\pi$ 的第 $n$ 位小数而无需知道其前 $n-1$ 位小数的值.

S0025-5718-97-00856-9.pdf (ams.org)

贝拉(Bellard)在1997年获得了贝拉公式

\[
\pi=\frac{1}{2^6}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{10n}}\biggl(-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9}\biggr)
\]

Remark:

摘自 梅加强 编著《数学分析》P.342.

References:

https://baike.baidu.com/item/贝拉公式