设 $a_1=\frac{1}{2}$, $2na_{n+1}=(n+1)a_n$, 记 $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$, 求 $S_n$.
设 $a_1=\frac{1}{2}$, $2na_{n+1}=(n+1)a_n$, 记 $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$, 求 $S_n$.
题目来源: 用和不用北太天元做清华大学2018领军数学第24题的差别
Answer
问题及解答
1
\[
2na_{n+1}=(n+1)a_n\quad\Rightarrow\quad\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a_n}{n},
\]
故令 $b_n=\frac{a_n}{n}$, 则有 $b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n$. 由条件, $b_1=\frac{a_1}{1}=\frac{1}{2}$.
容易推出 $b_n=\frac{1}{2^n}$, 因此
\[a_n=nb_n=\frac{n}{2^n},\]
\[S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}.\]
求出 $S_n$ 的过程是比较简单的, 先两边乘以 2, 然后相减, 即计算 $2S_n-S_n$. 详见问题2380的解答 , 或问题1978的解答.
我们得到
\[S_n=2-\frac{n+2}{2^n}.\]
2
使用 Sowya 进行验证.
首先进入分数计算模式
>> :mode fraction
Switch into fraction calculating mode.
e.g., 1/2+1/3 will return 5/6
使用 printRecursiveSeries() 打印数列 $a_n$. 这里打印前 10 项.
>> printRecursiveSeries((n+1)/(2*n)*a_n,a_n,1/2,10,\n)
1|2
1|2
3|8
1|4
5|32
3|32
7|128
1|32
9|512
5|512
------------------------
为方便计算前 10 项和, 将分隔符改为 +,
>> printRecursiveSeries((n+1)/(2*n)*a_n,a_n,1/2,10,+)
1|2+1|2+3|8+1|4+5|32+3|32+7|128+1|32+9|512+5|512+
------------------------
复制上面的式子, 去掉最后面的加号或添加一个0, 计算其值.
>> 1|2+1|2+3|8+1|4+5|32+3|32+7|128+1|32+9|512+5|512+0
in> 1|2+1|2+3|8+1|4+5|32+3|32+7|128+1|32+9|512+5|512+0
out> 509|256
------------------------
上面的计算表明 $S_n=2-\frac{n+2}{2^n}$, 令 $n=10$, $S_{10}=2-\frac{10+2}{2^{10}}$, 计算一下.
>> 2-12/1024
in> 2-12/1024
out> 509|256
------------------------