问题及解答

设 $a_1=\frac{1}{2}$, $2n{a}_{n+1}=(n+1)a_n$, 记 $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$, 求 $S_n$.

题目来源:   用和不用北太天元做清华大学2018领军数学第24题的差别

$$2n{a}_{n+1}=(n+1)a_n\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a_n}{n},$$

故令 $b_n=\frac{a_n}{n}$, 则有 $b_{n+1}=\frac{1}{2}{b}_n$. 由条件, $b_1=\frac{a_1}{1}=\frac{1}{2}$.

容易推出 $b_n=\frac{1}{2^n}$, 因此

$$a_n=n{b}_n=\frac{n}{2^n},$$

$$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^n\frac{k}{2^k}.$$

求出 $S_n$ 的过程是比较简单的, 先两边乘以 2, 然后相减, 即计算 $2S_n-S_n$. 详见问题2380的解答 , 或问题1978的解答. 

我们得到

$$S_n=2-\frac{n+2}{2^n}.$$

使用 Sowya 进行验证.

首先进入分数计算模式

>> :mode fraction
Switch into fraction calculating mode.
e.g., 1/2+1/3 will return 5/6

使用 printRecursiveSeries() 打印数列 $a_n$. 这里打印前 10 项.

>> printRecursiveSeries((n+1)/(2*n)*a_n,a_n,1/2,10,\n)
1|2
1|2
3|8
1|4
5|32
3|32
7|128
1|32
9|512
5|512

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为方便计算前 10 项和, 将分隔符改为 +, 

>> printRecursiveSeries((n+1)/(2*n)*a_n,a_n,1/2,10,+)
1|2+1|2+3|8+1|4+5|32+3|32+7|128+1|32+9|512+5|512+

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复制上面的式子, 去掉最后面的加号或添加一个0, 计算其值.

>> 1|2+1|2+3|8+1|4+5|32+3|32+7|128+1|32+9|512+5|512+0
in> 1|2+1|2+3|8+1|4+5|32+3|32+7|128+1|32+9|512+5|512+0

out> 509|256

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上面的计算表明 $S_n=2-\frac{n+2}{2^n}$, 令 $n=10$, $S_{10}=2-\frac{10+2}{2^{10}}$, 计算一下.

>> 2-12/1024
in> 2-12/1024

out> 509|256

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