(1) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}\]
(2) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\]
(3) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n^2}}\]
(4) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^2 n}{n(n+1)}\]
(5) \[\sum_{n=1}^{\infty}\ln\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)\]
(6) \[\sum_{n=1}^{\infty}\biggl[\frac{1}{2n+1}+\frac{(-1)^n}{2n+2}\biggr]\]
梅加强 《数学分析》习题8.1
1
(1) 通项 $a_n=\frac{n}{2n-1}\not\rightarrow 0$ (当 $n\rightarrow\infty$ 时), 故原级数发散.
(2)
记 $S_N=\sum_{N}^{n=1}\frac{n}{2^n}$, 则
\[
S_N=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{N-1}{2^{N-1}}+\frac{N}{2^N}
\]
\[
2S_N=1+\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\cdots+\frac{N-1}{2^{N-2}}+\frac{N}{2^{N-1}}
\]
第二式减去第一式, 得
\[
\begin{split}
S_N&=1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{N-1}}-\frac{N}{2^N}\\
&=\frac{1-(\frac{1}{2})^N}{1-\frac{1}{2}}-\frac{N}{2^N}\\
\end{split}
\]
因此,
\[
\lim_{N\rightarrow\infty}S_N=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.
\]
故原级数收敛.
(3)
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n^2}}=\Bigl(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\Bigr)^2=1\neq 0
\]
故原级数发散.
(4)
\[
0 < \frac{\sin^2 n}{n(n+1)}\leqslant\frac{1}{n(n+1)} < \frac{1}{n^2}
\]
由于 $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ 收敛, 从而原级数收敛.
(5)
由于 $\ln(1+\frac{1}{n})\sim\frac{1}{n}$ (当 $n\rightarrow+\infty$ 时), 故原级数发散.
(6)
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+2}$ 的通项之绝对值递减趋于零, 故根据 Leibniz 判别法, 此交错级数收敛. 事实上是条件收敛.
从而原级数发散, 因为 $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n+1}$ 是发散的. 事实上
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n+1} > \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n+2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n}.
\]