$(1+x)^{\alpha}$ 展开成幂级数为

\[
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots
\]

这里 $x\in(-1,1)$.  在端点 $\pm 1$ 的敛散性与具体的 $\alpha$ 有关.

计算 $10^{0.9181246048}$, 注意上面级数的收敛区间为 $(-1,1)$, 因此下面的计算方法是错误的.

\[
\begin{split}
10^{0.9181246048}&=(1+9)^{0.9181246048}\\
&=1+0.9181246048\times 9+\frac{0.9181246048(0.9181246048-1)}{2!}9^2\\
&\qquad+\frac{0.9181246048(0.9181246048-1)(0.9181246048-2)}{3!}9^3+\cdots
\end{split}
\]

我们需要将 $10^{\alpha}$ 转换为 $(2^{\alpha})^3\cdot(1.25)^{\alpha}$ 这样的形式. 即使是 $2^{\alpha}$, 有时也有很大的误差, 因为上面的级数在端点 $\pm 1$ 处不一定收敛. 因此需要转换为 $(1+x)^{\alpha}$ 的形式, 其中 $x\in(-1,1)$.

下面使用 Sowya 进行计算.

将下面的代码保存到 code/power.sc 中

//a^t =(1+x)^t
//(1+x)^t = 1+t*x+t*(t-1)/(2!)*x^2+...+t*(t-1)*(t-2)*...*(t-n+1)/(n!)*x^n+...
//make sure x is in (-1,1)

fun power(a,t)
{
    var n=10;
    var x;
    x=a-1;
    var sum=1;
    var coeff, x_pow;
    coeff=1;
    x_pow=1;

    for(var i=0; i     {
        coeff=coeff*(t-i)/(i+1);
        x_pow=x_pow*x;
        sum=sum+coeff*x_pow;
    }
    return sum;
}

启动 Sowya, 并进入到 clox 编程模式,

>> :mode clox

加载 power.sc 文件
> load(code\power.sc)

测试 $2^3$
> print power(2,3);
8>

计算 $2^{3.2}$

> print power(2,3.2);
2243569763|244140625>

如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛, 而且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{v_n}{u_n}=1$, 则能否判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ 也收敛? 如若不能, 请举出反例.

用柯西审敛准则证明下列级数收敛.

1.    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$

研究级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin(\alpha n+\beta)$ 的敛散性, 其中 $\alpha$, $\beta$ 为常数.

梅加强《数学分析》P.278, 习题 7.

设 $a_1=\frac{1}{2}$, $2na_{n+1}=(n+1)a_n$, 记 $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$, 求 $S_n$.

题目来源:   用和不用北太天元做清华大学2018领军数学第24题的差别

(1)

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8}{n(n+2)}
\]

求 $\prod_{n=3}^{\infty}\cos(\frac{\pi}{n})$

定理 (Dirichlet). 设数列 $\{a_n\}$ 单调趋于 0, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 的部分和有界, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$ 收敛.

[Hint] 要证 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$ 收敛, 由 Cauchy 收敛定理, 即要证明: 对任意给定的 $\varepsilon$, 存在 $N$, 当 $n > N$ 时, 对任意的正整数 $p$, 有

\[
\biggl|\sum_{i=n+1}^{n+p}a_i b_i\biggr| < \varepsilon
\]

这里需要用到 Abel 变换及其推论.

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性.

[Hint] 令 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$, $b_n=\sin n$, 使用 Dirichlet 判别法.

此外, 也可以考虑转换为反常积分.

\[
\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x
\]

关于 $\int_0^{+\infty}\sin x^2\mathrm{d}x$ 的计算需要使用复变函数的知识, 见问题2596 .

设 $a_1=1$, $a_2=\sin a_1=\sin 1$, $a_3=\sin a_2=\sin(\sin 1)$. 一般的, 定义 $a_{n+1}=\sin a_n$, $n=1,2,3,\ldots$.

判定下列级数的敛散性:

(1)  $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln(1+a_n)$.

(2)  $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-a_{n+1})^2$