Dini 定理
Dini 定理是用于判断一个非负连续函数列 $\{g_n\}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上一致收敛到 $0$ 的, 当然需要给一些条件, 比如点点收敛到 $0$, 且对每个 $x$, $\{g_n(x)\}$ 单调. 正式的描述如下:
定理(Dini). 设 $\{g_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ 是定义在 $[a,b]$ 上的非负连续函数列, 若对每个 $x\in[a,b]$, $\{g_n(x)\}$ 单调递减趋于 $0$, 则 $g_n\rightrightarrow 0$.
[分析] 要证明 $\{g_n\}$ 一致收敛到 $0$, 即任给 $\varepsilon > 0$, 要找到仅依赖于 $\varepsilon$ 的正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时, 有 $|g_n(x)-0| < \varepsilon$.
由于 $g_n$ 非负, 故上面的不等式等价于 $g_n(x) < \varepsilon$.
对于这个不等式, 所给的条件无法用于放缩进而证明小于任给的 $\varepsilon$. 条件点点收敛 $g_n(x)\rightarrow 0$ ($n\rightarrow\infty$) 得到的 $N$ 是依赖于 $\varepsilon$ 和 $x$ 的. 因此转而考虑其他方法, 比如反证法.
$\{g_n\}$ 不一致收敛到 $0$ 等价于存在 $\varepsilon >0$, 对任意的 $N$, 存在 $n > N$, 使得 $g_n(x)\geqslant\varepsilon$ 对某个 $x\in[a,b]$ 成立.
为此, 考虑集合
\[
A_n=\{x\in[a,b]\mid g_n(x)\geqslant\varepsilon\}.
\]
我们只需要证明从某个 $N$ 往后的集合 $A_n$ 都是空集.
由于 $\{g_n(x)\}$ 关于 $n$ 是单调递减的, 故 $g_{n+1}(x)\leqslant g_n(x)$. 因此, 若 $x\in A_{n+1}$, 则 $x\in A_n$. 于是我们有
\[
A_1\supset A_2\supset\cdots\supset A_n\supset A_{n+1}\supset\cdots\ .\tag{*}
\]
我们只要证明存在某个 $A_n=\emptyset$. 此时又使用反证法. 加上对于任意的 $n\geqslant 1$, $A_n\neq\emptyset$.
即存在 $x_n\in A_n$, $n=1,2,\ldots$. 由于 $x_n\in[a,b]$, 故存在收敛子列 $x_{n_k}$, 其极限(记为 $x_0$)仍属于 $[a,b]$. 注意到 $n_k\geqslant k$. 故
\[A_k\supset A_{n_k}\supset\{x_{n_k}, x_{n_{k+1}},\ldots\}.\]
又 $g_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 故对于收敛到 $x_0$ 的点列 $\{x_{n_k}\}$, 有
\[
\lim_{k\rightarrow\infty}g_n(x_{n_k})=g_n(x_0).
\]
而 $g_n(x_{n_k})\geqslant\varepsilon$, 故由极限的保号性知道 $g_n(x_0)\geqslant\varepsilon$. 这与条件 $g_n(x)$ 对每个 $x$ 关于 $n$ 递减趋于 $0$ 矛盾. 因此 $(*)$ 中存在某个 $A_{N}$ 是空集. 从而得证.
Dini 定理可以用于函数项级数一致收敛的判断.
推论. 设 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上收敛到 $f(x)$, 且 $f_n(x)$ 非负连续, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $f(x)$.
References:
[1] 梅加强 《数学分析》