判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos n$ 的敛散性.
判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos n$ 的敛散性.
Answer
问题及解答
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这个级数是发散的. 下面使用反证法证之. 方法与证明级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n$ 发散完全类似.
证明: 假设 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos n$ 收敛, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cos n=0$. 由
\[\cos(n+1)=\cos n\cdot\cos 1-\sin n\cdot\sin 1\]
可推出 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sin n=0$. 另一方面
\[\sin^2 n+\cos^2 n\equiv 1.\]
两边令 $n\rightarrow\infty$ 取极限得 $0=1$. 矛盾. 故原级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos n$ 发散.