判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{n!}$ 的敛散性.
判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{n!}$ 的敛散性.
Answer
问题及解答
1
解.
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{(2n+1)!!}{(n+1)!}}{\frac{(2n-1)!!}{n!}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+1)!!}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{(2n-1)!!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2 > 1,
\]
因此由达朗贝尔判别法(也称比值判别法)知该级数发散.