问题

引言

Abel 判别法最初是针对通项是两个数相乘形式的级数, 即形如 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n b_n$ 的级数.

它的条件和 Dirichlet 判别法有点“相反”. Dirichlet 判别法也是针对这种形式的级数, 它要求其中一个单调趋于0, 另一个部分和有界; 而 Abel 判别法要求其中之一单调有界, 另一个收敛.

这个判别法可以推广到函数项级数, 判断其是否一致收敛. 因此其条件也从“有界”改为“一致有界”, “收敛”改为“一致收敛”.

关于数项级数收敛的Abel 判别法

定理(Abel). 考虑级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n b_n$, 若 $\{a_n\}$ 单调有界, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n b_n$ 收敛.

关于函数项级数一致收敛的Abel 判别法

考虑定义在区间 $I$ 上, 通项是两个函数乘积形式的级数, 如 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$. 如果其中一个在 $I$ 上一致收敛, 另一个在该闭区间中每个点上关于 $n$ 单调, 且一致有界, 则原级数在此闭区间上也一致收敛. 具体表述如下:

定理(Abel). 考虑函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$, $x\in I$. 若 $a_n(x)$ 对每个 $x\in I$, 关于 $n$ 单调, 且一致有界, $\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛.