问题及解答

判断级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n}$ 的敛散性.

考虑函数 $f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$, 由于

\[
f'(x)=-\frac{1}{(x\ln x)^2}\cdot\Bigl[\ln x+x\cdot\frac{1}{x}\Bigr]=-\frac{1+\ln x}{(x\ln x)^2} < 0, \quad x\geqslant 2.
\]

故 $f(x)$ 是 $[2,+\infty)$ 上的非负严格单调递减函数. $a_n=\dfrac{1}{n\ln n}=f(n)$, $n\geqslant 2$. 根据积分判别法, 级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}a_n$ 与广义积分 $\displaystyle\int_{2}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 的敛散性相同. 而

\[
\int_{2}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x=\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\ln x}\mathrm{d}(\ln x)\xlongequal{t=\ln x}\int_{\ln 2}^{+\infty}\frac{1}{t}\mathrm{d}t=+\infty.
\]

因此, 原级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n}$ 发散.