问题及解答

判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n\ln n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性.

解. 这是一个交错级数. 容易证明当 $n\geqslant 8$ 时, $a_n=\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}$ 关于 $n$ 递减趋于零, 故由 Leibniz 判别法知其收敛.

考虑函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$, $x > 0$, 则

\[
f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot\sqrt{x}-(\ln x)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}},
\]

当 $x > e^2\approx 7.3890559$ 时, $f'(x) < 0$. 因此,  当 $n\geqslant 8$ 时,  $a_n=\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}$ 关于 $n$ 严格单调递减.

另一方面,

\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\xlongequal[\text{洛}]{\frac{\infty}{\infty}}\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0.
\]

故 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}=0$. 因此原级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}$ 收敛.