问题及解答

判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+n^2}}$ 的敛散性.

解. 

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n+n^2}}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n+n^2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n}+1}}=1,
\]

而级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$ 发散, 故原级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+n^2}}$ 也发散.

也可以使用积分判别法判断其敛散性.

令 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+x^2}}$, 由于

\[
f'(x)=-\frac{1}{x+x^2}\cdot\frac{1+2x}{2\sqrt{x+x^2}} < 0,\quad\forall\ x\in[1,+\infty).
\]

故 $f(x)$ 是 $[1,+\infty)$ 上的非负严格单调递减函数. $a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+n^2}}=f(n)$, 根据积分判别法, 级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 与广义积分 $\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 的敛散性相同.

而

\[
\begin{split}
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x+x^2}}\mathrm{d}x&=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}}}\mathrm{d}(x+\frac{1}{2})\\
&\xlongequal{t=x+\frac{1}{2}}\int_{\frac{3}{2}}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{t^2-\frac{1}{4}}}\mathrm{d}t\\
& > \int_{\frac{3}{2}}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{t^2}}\mathrm{d}t=+\infty.
\end{split}
\]

因此, 原级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+n^2}}$ 发散.