问题

设直线 $\ell_1$, $\ell_2$ 的方程分别为

\[
\ell_1:\quad\frac{x-4}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-8}{1},
\]

\[
\ell_2:\quad\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}.
\]

1) 证明 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 异面;

2) 求它们的公垂线方程;

3) 求连接 $\ell_1$ 上的任一点和 $\ell_2$ 上的任一点线段中点的轨迹的一般方程.

注: 此为第六届中国大学生数学竞赛预赛题目(数学类 2014年10月)