Questions in category: 解析几何 (Cartesian geometry)
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31. 双曲线的弦与双曲线所围成面积如果固定, 其弦的中点轨迹问题.

Posted by haifeng on 2014-08-29 10:04:25 last update 2014-08-30 00:52:05 | Answers (1) | 收藏


设直线 $\ell$ 与双曲线 $\Gamma:$ $x^2-y^2=2$ ($x>0$) 所围成的面积为 $S$, 是一固定的正数. 证明:

(1) 直线 $\ell$ 被双曲线 $\Gamma$ 所截线段的中点的轨迹为双曲线.

(2) $\ell$ 总是 (1) 中双曲线的切线.

32. 二次曲面的分类

Posted by haifeng on 2014-08-29 09:29:36 last update 2014-08-29 09:35:13 | Answers (0) | 收藏


对任何一个非空二次曲面 $\Sigma$ 都存在空间直角坐标系, 使得 $\Sigma$ 在此直角坐标系中的方程是下列 14 种形式之一.

(1) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$,  图像为椭球面.

(2) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$,  图像为一点.

(3) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$,  图像为单叶双曲面.

(4) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$,  图像为双叶双曲面.

(5) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z$,  图像为椭圆抛物面.

(6) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z$,  图像为双曲抛物面.

(7) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$,  图像为二次锥面.

(8) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,  图像为椭圆柱面.

(9) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$,  图像为一条直线.

(10) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$,  图像为双曲柱面.

(11) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$,  图像为两张相交平面.

(12) $x^2=2py$,  图像为抛物柱面.

(13) $x^2=a^2$,  图像为两张平行平面.

(14) $x^2=0$,  图像为一张平面.


References:

尤承业 编著 《解析几何》 北京大学出版社,2004年

33. 对于二次曲面 $\Sigma$, 若共线之三点 $A,B,C\in\Sigma$, 则它们所在的直线也包含于曲面 $\Sigma$ 内.

Posted by haifeng on 2014-08-29 08:44:31 last update 2014-08-29 09:17:59 | Answers (1) | 收藏


对于二次曲面 $\Sigma$, 若共线之三点 $A,B,C\in\Sigma$, 则它们所在的直线也包含于曲面 $\Sigma$ 内.

 


Remark: 注意考虑的是二次曲面, 如果举如下的"反例"

\[
y=\sin x,\quad z\in\mathbb{R}
\]

则不符合要求.

34. 中国大学生数学竞赛竞赛大纲[解析几何部分]

Posted by haifeng on 2014-08-25 16:11:39 last update 2014-08-25 16:13:23 | Answers (0) | 收藏


 

  1.     向量与坐标
  2.     向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.
  3.      坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.
  4.     向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
  5.      向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.
  6.      应用向量求解一些几何、三角问题.
  7.     轨迹与方程
  8.     曲面方程的定义:普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.
  9.     空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.
  10.     建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.
  11.     球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.
  12.     平面与空间直线
  13.     平面方程、直线方程的各种形式,方程中各有关字母的意义.
  14.     从决定平面和直线的几何条件出发,选用适当方法建立平面、直线方程.
  15.     根据平面和直线的方程,判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.
  16.      根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等;求两异面直线的公垂线方程.
  17.     二次曲面
  18.     柱面、锥面、旋转曲面的定义,求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
  19.     椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质,根据不同条件建立二次曲面的标准方程.
  20.     单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.
  21.     根据给定直线族求出它表示的直纹面方程,求动直线和动曲线的轨迹问题.
  22.     二次曲线的一般理论
  23.     二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.
  24.     二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.
  25.     二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.
  26.     二次曲线的主轴、主方向,特征方程、特征根.
  27.     化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
     

35. 椭球面中心的标架

Posted by haifeng on 2014-06-10 22:34:25 last update 2014-08-29 17:37:48 | Answers (1) | 收藏


从椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的中心引三条相互垂直的射线 $OA$, $OB$, $OC$ 交椭球面于 $A,B,C$ 三点.

试证: $\frac{1}{|OA|^2}+\frac{1}{|OB|^2}+\frac{1}{|OC|^2}=\text{const}.$


Remark: 这个常数当然是 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$.

如果是特殊的球面, 则结论显然成立.

 

Hint: 设 $A,B,C$ 分别为 $\vec{r}_i=m_i(\cos\alpha_i,\cos\beta_i,\cos\gamma_i)$, $i=1,2,3$.

其中 $m_i$ 为模长, $\alpha_i,\beta_i,\gamma_i$ 为方向角, 即分别与坐标轴 $x,y,z$ 轴正向的夹角.

36. 三平面过同一条直线的充要条件

Posted by haifeng on 2014-06-10 22:18:51 last update 2014-06-10 22:27:28 | Answers (1) | 收藏


证明: 三平面

\[
\begin{aligned}
x&=cy+bz,\\
y&=az+cx,\\
z&=bx+ay,\\
\end{aligned}
\]

经过同一条直线的充要条件是: $a^2+b^2+c^2+2abc=1$.


Hint: 改写成线性方程组的形式. 注意三个平面都经过原点, 因此只要再有一个非原点的共同点即可.

这等价于说线性方程组有非零解.

37. 过抛物面外一点作该抛物面的切线

Posted by haifeng on 2014-06-10 11:09:25 last update 2014-06-10 11:35:54 | Answers (0) | 收藏


设 $S$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的抛物面 $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$, $P=(a,b,c)$ 为 $S$ 外一固定点, 满足 $a^2+b^2>2c$. 过 $P$ 作 $S$ 的所有切线.

证明: 这些切线的切点落在同一张平面上.


Remark: $a^2+b^2>2c$ 这个条件就是保证 $P$ 点在抛物面的“外面”.  由于此抛物面开口向上, 可以认为 $P$ 点在抛物面的“下方”.

Answer: 所有切点都落在平面 $ax+by-z=c$ 上.

特别的, 如果 $P=(0,0,c)$, $c<0$. 则所有切点都落在平面 $z=-c$ 上.

38. 心脏线(cardioid)关于初始点为圆心的圆的反演方程

Posted by haifeng on 2014-06-10 10:42:03 last update 2015-08-23 23:07:57 | Answers (1) | 收藏


平面 $\mathbb{R}^2$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_1$ 和 $C_2$ 外切于 $P$ 点. 将圆 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圆周(无滑动)滚动一周, 这时, $C_2$ 上的 $P$ 点也随 $C_2$ 的运动而运动. 记 $\Gamma$ 为 $P$ 点的运动轨迹曲线, 称为心脏线(cardioid).

现设 $C$ 为以 $P$ 的初始位置(切点)为圆心的圆, 其半径为 $R$. 记

\[
\gamma:\ \mathbb{R}^2\cup\{\infty\}\rightarrow\mathbb{R}^2\cup\{\infty\}
\]

为圆 $C$ 的反演变换, 它将 $Q\in\mathbb{R}^2\setminus\{P\}$ 映为射线 $PQ$ 上的点 $Q'$, 满足 $|PQ|\cdot|PQ'|=R^2$.

求证: $\gamma(\Gamma)$ 为抛物线.


Hint: 心脏线(cardioid)的方程是 $\rho=a(1-\cos\theta)$

这里, 心脏线的方程为 $\rho=2r(1-\cos\theta)$, 而反演是不改变角度的, 因此反演后的曲线, 方程是

\[
\rho_2=\frac{R^2}{\rho}=\frac{R^2}{2r(1-\cos\theta)}.
\]

 

回忆圆锥曲线的极坐标方程是

\[
\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta},
\]

其中 $e$ 是离心率(当 $e\in(0,1)$ 时, 曲线是椭圆; 当 $e=1$ 时曲线是抛物线; 当 $e>1$ 时曲线是双曲线.)

$p$ 是焦准距, 即焦点到准线的距离. (注意, 这里椭圆的左焦点设定为极点, 双曲线的右焦点设定为极点.)

 


 

注: 此为第五届中国大学生数学竞赛预赛试题(数学类, 2013年10月).

39. 直线截抛物线所围成有界区域的面积的最小值问题

Posted by haifeng on 2014-06-09 11:37:29 last update 2014-06-09 11:38:20 | Answers (1) | 收藏


设 $\Gamma$ 为抛物线, $P$ 是与焦点位于抛物线同侧的一点, 过 $P$ 的直线 $L$ 与 $\Gamma$ 围成的有界区域的面积记为 $A(L)$.

证明: $A(L)$ 取最小值当且仅当 $P$ 恰为 $L$ 被 $\Gamma$ 所截出的线段的中点.

40. 设 $\Gamma$ 为椭圆抛物面 $z=3x^2+4y^2+1$, 从原点作 $\Gamma$ 的所有切平面, 求形成的切锥面方程.

Posted by haifeng on 2014-06-09 11:12:08 last update 2015-08-31 10:16:51 | Answers (2) | 收藏


设 $\Gamma$ 为椭圆抛物面 $z=3x^2+4y^2+1$, 从原点作 $\Gamma$ 的所有切平面, 求形成的切锥面方程.

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