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问题及解答

对于二次曲面 $\Sigma$, 若共线之三点 $A,B,C\in\Sigma$, 则它们所在的直线也包含于曲面 $\Sigma$ 内.

Posted by haifeng on 2014-08-29 08:44:31 last update 2014-08-29 09:17:59 | Edit | Answers (1)

对于二次曲面 $\Sigma$, 若共线之三点 $A,B,C\in\Sigma$, 则它们所在的直线也包含于曲面 $\Sigma$ 内.

 


Remark: 注意考虑的是二次曲面, 如果举如下的"反例"

\[
y=\sin x,\quad z\in\mathbb{R}
\]

则不符合要求.

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Posted by haifeng on 2014-08-29 10:00:15

二次曲面的分类来看, 只需重点考虑下面的五类.

(1) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$,  图像为椭球面.

(2) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$,  图像为单叶双曲面.

(3) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$,  图像为双叶双曲面.

(4) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z$,  图像为椭圆抛物面.

(5) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z$,  图像为双曲抛物面.

其中椭球面、双叶双曲面、椭圆抛物面上都不存在共线之三点, 故不予考虑.

而对于单叶双曲面和双曲抛物面, 两者都是直纹面. 假设存在共线的三点 $A,B,C$. 但是 $A,B,C$ 所在直线 $\ell\not\subset\Sigma$. 则存在 $D,E\in\Sigma$, $D,E\not\in\ell$, 及 $\Sigma$ 中的路径 $\widetilde{ADB}$, $\widetilde{BEC}$ 连接 $A,B$ 及 $B,C$.

但是 $\Sigma$ 是二次曲面, 这种路径 $\widetilde{ADBEC}$ 是不存在的.