问题及解答

平面 $\mathbb{R}^2$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_1$ 和 $C_2$ 外切于 $P$ 点. 将圆 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圆周(无滑动)滚动一周, 这时, $C_2$ 上的 $P$ 点也随 $C_2$ 的运动而运动. 记 $\Gamma$ 为 $P$ 点的运动轨迹曲线, 称为心脏线(cardioid).

现设 $C$ 为以 $P$ 的初始位置(切点)为圆心的圆, 其半径为 $R$. 记

\[
\gamma:\ \mathbb{R}^2\cup\{\infty\}\rightarrow\mathbb{R}^2\cup\{\infty\}
\]

为圆 $C$ 的反演变换, 它将 $Q\in\mathbb{R}^2\setminus\{P\}$ 映为射线 $PQ$ 上的点 $Q'$, 满足 $|PQ|\cdot|PQ'|=R^2$.

求证: $\gamma(\Gamma)$ 为抛物线.

Hint: 心脏线(cardioid)的方程是 $\rho=a(1-\cos\theta)$

这里, 心脏线的方程为 $\rho=2r(1-\cos\theta)$, 而反演是不改变角度的, 因此反演后的曲线, 方程是

\[
\rho_2=\frac{R^2}{\rho}=\frac{R^2}{2r(1-\cos\theta)}.
\]

回忆圆锥曲线的极坐标方程是

\[
\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta},
\]

其中 $e$ 是离心率(当 $e\in(0,1)$ 时, 曲线是椭圆; 当 $e=1$ 时曲线是抛物线; 当 $e>1$ 时曲线是双曲线.)

$p$ 是焦准距, 即焦点到准线的距离. (注意, 这里椭圆的左焦点设定为极点, 双曲线的右焦点设定为极点.)

注: 此为第五届中国大学生数学竞赛预赛试题(数学类, 2013年10月).

(用坐标系) 假设两圆初始相切的点 $P$ 一开始位于原点, $C_1$ 是圆心在 $A=(-r,0)$ 点, 半径为 $r$ 的圆, $C_2$ 是圆心在 $(r,0)$ 半径为 $r$ 的圆. 现在 $C_2$ 绕 $C_1$ 逆时针(无滑动)滚动一周. 点 $P$ 的运动轨迹为 $\Gamma$. 两圆的切点是 $T$.

在极坐标系下, 设 $P=(\rho,\theta)$. 注意到两圆的公切线垂直平分线段 $OP$. 所以 $\angle{OAT}=\theta$. 于是 $\frac{1}{2}\angle{OTP}=\frac{\theta}{2}$. 从而

\[
|OP|=2\cdot|OT|\sin\frac{\theta}{2},\quad |OT|=2\cdot|OA|\sin\frac{\theta}{2},
\]

将 $|OT|$ 代入, 得 

\[
\rho=2\cdot 2r\sin\frac{\theta}{2}\cdot\sin\frac{\theta}{2}=2r\cdot 2\sin^2\frac{\theta}{2}=2r(1-\cos\theta).
\]

下面确切的写出反演后曲线的方程.

设点 $P=(\rho,\theta)$ 在反演后的像是 $Q=(\rho_1,\theta)$. 则 $\rho_1=\frac{R^2}{\rho}=\frac{R^2}{2r(1-\cos\theta)}$.

记 $x_1=\rho_1\cos\theta$, $y_1=\rho_1\sin\theta$. 则

\[
y_1^2=\frac{R^4\sin^2\theta}{4r^2(1-\cos\theta)^2}=\frac{R^4}{4r^2}\cdot\frac{1-\cos^2\theta}{(1-\cos\theta)^2}=\frac{R^4}{4r^2}\cdot\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}
\]

于是

\[
y_1^2-\frac{R^4}{4r^2}=\frac{R^4}{4r^2}\biggl(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}-1\biggr)=\frac{R^4}{4r^2}\cdot\frac{2\cos\theta}{1-\cos\theta}=\frac{R^4\cos\theta}{2r^2(1-\cos\theta)}=\frac{R^2}{r}\frac{R^2\cos\theta}{2r(1-\cos\theta)}=\frac{R^2}{r}\cdot x_1,
\]

故反演所得抛物线方程为

\[
y_1^2=\frac{R^2}{r}x_1+\frac{R^4}{4r^2}.
\]

如果逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$.

注意到 $OP$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\frac{\pi}{2}+\theta$, 因此 $P=(\rho\cdot(-1)\sin\theta,\rho\cos\theta)$. 设点 $P$ 反演后的点为 $Q=(\bar{x},\bar{y})$. 于是 $|OQ|=\frac{R^2}{2r(1-\cos\theta)}$. 且

\[
Q=\Bigl(-\frac{R^2}{2r(1-\cos\theta)}\sin\theta,\ \frac{R^2}{2r(1-\cos\theta)}\cos\theta\Bigr).
\]

因此有

\[
\bar{y}=\frac{r}{R^2}{\bar{x}}^2-\frac{R^2}{4r}.
\]

故反演后的曲线是抛物线.