在空间直角坐标系中, 求使原点不动, 并且将 $x$ 轴变成直线 $\frac{x}{\lambda}=\frac{y}{\mu}=\frac{z}{\nu}$ 的等距变换公式.

椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 与过坐标轴的平面所截的曲线是否可以是圆?

这里假设 $a > b > c$.

给定 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 和 $a_1,a_2$, 证明: 平面上存在唯一点 $(x,y)$, 满足下面的方程

\[
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a_1+\frac{k_1 x+k_2 y}{x^2+y^2}\\
a_2+\frac{k_3 x+k_4 y}{x^2+y^2}
\end{pmatrix}
\]

试讨论两直线

\[
L_1:\ \begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z=D_1,\\
A_2x+B_2y+C_2z=D_2,\\
\end{cases}
\quad\text{与}\quad
L_2:\ \begin{cases}
A_3x+B_3y+C_3z=D_3,\\
A_4x+B_4y+C_4z=D_4,\\
\end{cases}
\]

的位置关系.

【Hint】仿照两平面的位置关系, 利用线性方程组的解的性质去刻画.

试讨论两个平面 $\pi_1:\ A_1x+B_1y+C_1z=D_1$ 和 $\pi_2:\ A_2x+B_2y+C_2z=D_2$ 的空间位置关系.

求母线平行于直线 $L:\ x=y=z$, 准线为 $\Gamma$:

\[
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2=1,\\
x+y+z=0,
\end{cases}
\]

的柱面方程.

[Hint] 假设柱面是 $\Sigma$, 则

点 $M\in\Sigma$ 当且仅当过点 $M$ 平行于 $L$ 的直线与 $\Gamma$ 相交.

设曲线 $C$ 是由 $y=\sqrt{x^2-1}$ 和 $y=x^2-1$ 围成的封闭曲线.

求曲线 $C$ 的外法向量 $\vec{n}$.

【Hint】这里 $y=\sqrt{x^2-1}$ 的图像是双曲线在 $x$ 轴的上半平面中的部分, 与抛物线 $y=x^2-1$ 的围成的封闭曲线有两条, 关于 $y$ 轴对称. 因此只需考虑 $y$ 轴右侧部分的曲线即可.

【Hint】一般的, 设平面上的曲线为 $\gamma=(x(t),y(t))$. 则其切向量为 $\dot{\gamma}=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$. 根据所围成的区域判断其外法向向量.

向量 $\vec{v}=(x,y)^T$ 如果逆时针旋转 $\theta$, 得到 $\vec{w}$, 即

\[
\vec{w}=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\]

如果曲线的外法向量是由切向量逆时针旋转 $\pi/2$ 得到, 则

\[
\vec{n}=\begin{pmatrix}
\cos\frac{\pi}{2} & -\sin\frac{\pi}{2}\\
\sin\frac{\pi}{2} & \cos\frac{\pi}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{x}(t)\\
\dot{y}(t)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{x}(t)\\
\dot{y}(t)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-\dot{y}(t)\\
\dot{x}(t)
\end{pmatrix}
\]

如果是由切向量顺时针旋转 $\pi/2$, 则 $\vec{n}=(\dot{y}(t),-\dot{x}(t))$.

在三维欧氏空间中, 求点 $P=(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $\pi:\ Ax+By+Cz+D=0$ 的距离.

公式是

\[
d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
\]

[分析]

如果忘记了公式, 可以这样来分析. 在平面 $\pi$ 上任取一点 $M(x,y,z)$, 只有当 $\overrightarrow{PM}\perp\pi$ 时, $|PM|=d(P,\pi)$.

标准抛物线是指首项系数为 1 的二次多项式 $y=x^2+ax+b$ 的图像.

三条分别以 $V_1,V_2,V_3$ 为顶点的标准抛物线两两相交于点 $A_1,A_2,A_3$.

设 $A\mapsto s(A)$ 平面关于 $x$ 轴的对称映射.

证明: 以 $s(A_1),s(A_2),s(A_3)$ 为顶点的标准抛物线两两相交于点 $s(V_1),s(V_2),s(V_3)$.

Hint: 首先证明以 $V$ 为顶点的标准抛物线经过点 $A$ 当且仅当以 $s(A)$ 为顶点的标准抛物线经过点 $s(V)$.

References:

王丽萍 编译,  历届 IMC (International Mathematics Competition for University Students) 国际大学生数学竞赛试题集 1994-2010.

此题为第 9 届 IMC 试题 (波兰, 2002)

已知椭球面

\[\Sigma:\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\]

和平面

\[\pi:\quad Ax+By+Cz+1=0,\]

试求它们相交、相切和相离的条件.

Hint, 设 $\pi_1$ 是椭球面的切平面, 并且平行于 $\pi$, 切点为 $M(x_0,y_0,z_0)$. 回忆切平面的法向向量为

\[\vec{n}=(F_x,F_y,F_z)\]

从而可写出切平面的方程

\[
\pi_1:\ \frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)+\frac{z_0}{a^2}(z-z_0)=0.
\]

然后利用点到平面的距离公式, 即可求解本题.