Questions in category: 解析几何 (Cartesian geometry)
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21. 解方程

Posted by haifeng on 2014-11-20 11:13:22 last update 2014-11-20 18:00:37 | Answers (1) | 收藏


给定 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 和 $a_1,a_2$, 证明: 平面上存在唯一点 $(x,y)$, 满足下面的方程

\[
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a_1+\frac{k_1 x+k_2 y}{x^2+y^2}\\
a_2+\frac{k_3 x+k_4 y}{x^2+y^2}
\end{pmatrix}
\]

22. 讨论两直线的位置关系

Posted by haifeng on 2014-09-09 22:23:58 last update 2014-09-09 22:26:02 | Answers (1) | 收藏


试讨论两直线

\[
L_1:\ \begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z=D_1,\\
A_2x+B_2y+C_2z=D_2,\\
\end{cases}
\quad\text{与}\quad
L_2:\ \begin{cases}
A_3x+B_3y+C_3z=D_3,\\
A_4x+B_4y+C_4z=D_4,\\
\end{cases}
\]

的位置关系.


【Hint】仿照两平面的位置关系, 利用线性方程组的解的性质去刻画.

23. 讨论两个平面的空间位置关系

Posted by haifeng on 2014-09-09 16:15:33 last update 2015-08-31 15:26:16 | Answers (1) | 收藏


试讨论两个平面 $\pi_1:\ A_1x+B_1y+C_1z=D_1$ 和 $\pi_2:\ A_2x+B_2y+C_2z=D_2$ 的空间位置关系.

24. 已知直母线的方向向量和准线方程, 求所确定的柱面方程.

Posted by haifeng on 2014-09-08 10:01:17 last update 2014-09-08 10:03:20 | Answers (1) | 收藏


求母线平行于直线 $L:\ x=y=z$, 准线为 $\Gamma$:

\[
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2=1,\\
x+y+z=0,
\end{cases}
\]

的柱面方程.


[Hint] 假设柱面是 $\Sigma$, 则

点 $M\in\Sigma$ 当且仅当过点 $M$ 平行于 $L$ 的直线与 $\Gamma$ 相交.

25. 求曲线的外法向量

Posted by haifeng on 2014-09-07 11:24:49 last update 2014-09-07 11:40:46 | Answers (0) | 收藏


设曲线 $C$ 是由 $y=\sqrt{x^2-1}$ 和 $y=x^2-1$ 围成的封闭曲线.

求曲线 $C$ 的外法向量 $\vec{n}$.


【Hint】这里 $y=\sqrt{x^2-1}$ 的图像是双曲线在 $x$ 轴的上半平面中的部分, 与抛物线 $y=x^2-1$ 的围成的封闭曲线有两条, 关于 $y$ 轴对称. 因此只需考虑 $y$ 轴右侧部分的曲线即可.

 


【Hint】一般的, 设平面上的曲线为 $\gamma=(x(t),y(t))$. 则其切向量为 $\dot{\gamma}=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$. 根据所围成的区域判断其外法向向量.

向量 $\vec{v}=(x,y)^T$ 如果逆时针旋转 $\theta$, 得到 $\vec{w}$, 即

\[
\vec{w}=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\]

如果曲线的外法向量是由切向量逆时针旋转 $\pi/2$ 得到, 则

\[
\vec{n}=\begin{pmatrix}
\cos\frac{\pi}{2} & -\sin\frac{\pi}{2}\\
\sin\frac{\pi}{2} & \cos\frac{\pi}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{x}(t)\\
\dot{y}(t)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{x}(t)\\
\dot{y}(t)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-\dot{y}(t)\\
\dot{x}(t)
\end{pmatrix}
\]

如果是由切向量顺时针旋转 $\pi/2$, 则 $\vec{n}=(\dot{y}(t),-\dot{x}(t))$.

26. 点到平面的距离

Posted by haifeng on 2014-09-07 10:39:10 last update 2014-09-07 10:43:34 | Answers (1) | 收藏


在三维欧氏空间中, 求点 $P=(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $\pi:\ Ax+By+Cz+D=0$ 的距离.


公式是

\[
d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
\]


[分析]

如果忘记了公式, 可以这样来分析. 在平面 $\pi$ 上任取一点 $M(x,y,z)$, 只有当 $\overrightarrow{PM}\perp\pi$ 时, $|PM|=d(P,\pi)$.

27. 三条抛物线相交的问题

Posted by haifeng on 2014-08-29 18:57:43 last update 2014-08-29 22:52:17 | Answers (1) | 收藏


标准抛物线是指首项系数为 1 的二次多项式 $y=x^2+ax+b$ 的图像.

三条分别以 $V_1,V_2,V_3$ 为顶点的标准抛物线两两相交于点 $A_1,A_2,A_3$.

设 $A\mapsto s(A)$ 平面关于 $x$ 轴的对称映射.

证明: 以 $s(A_1),s(A_2),s(A_3)$ 为顶点的标准抛物线两两相交于点 $s(V_1),s(V_2),s(V_3)$.


Hint: 首先证明以 $V$ 为顶点的标准抛物线经过点 $A$ 当且仅当以 $s(A)$ 为顶点的标准抛物线经过点 $s(V)$.

 


References:

王丽萍 编译,  历届 IMC (International Mathematics Competition for University Students) 国际大学生数学竞赛试题集 1994-2010.

此题为第 9 届 IMC 试题 (波兰, 2002)

28. 椭球面和平面相交、相切、相离的条件.

Posted by haifeng on 2014-08-29 18:33:25 last update 2014-09-07 11:04:09 | Answers (1) | 收藏


已知椭球面

\[\Sigma:\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\]

和平面

\[\pi:\quad Ax+By+Cz+1=0,\]

试求它们相交、相切和相离的条件.


Hint, 设 $\pi_1$ 是椭球面的切平面, 并且平行于 $\pi$, 切点为 $M(x_0,y_0,z_0)$. 回忆切平面的法向向量为

\[\vec{n}=(F_x,F_y,F_z)\]

从而可写出切平面的方程

\[
\pi_1:\ \frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)+\frac{z_0}{a^2}(z-z_0)=0.
\]

然后利用点到平面的距离公式, 即可求解本题.

29. 证明三角形三条高交于一点.

Posted by haifeng on 2014-08-29 18:28:44 last update 2014-08-29 18:28:44 | Answers (1) | 收藏


设 $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{x}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的四个向量, 试证:

\[
(\vec{x}-\vec{a})\cdot(\vec{b}-\vec{c})+(\vec{x}-\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{a})+(\vec{x}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0
\]

并由此证明三角形的三边上的高汇于一点.

30. 过平面上相异五点, 存在惟一一条圆锥曲线.

Posted by haifeng on 2014-08-29 18:25:33 last update 2014-08-29 18:25:33 | Answers (0) | 收藏


证明: 过平面上相异五点 $P_i(x_i,y_i)$, $i=1,2,3,4,5$. 有一条惟一的圆锥曲线.

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