问题及解答

求母线平行于直线 $L:x=y=z$, 准线为 $\mathrm{\Gamma }$:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=1,\\ x+y+z=0,\end{array}$$

的柱面方程.

[Hint] 假设柱面是 $\mathrm{\Sigma }$, 则

点 $M\in \mathrm{\Sigma }$ 当且仅当过点 $M$ 平行于 $L$ 的直线与 $\mathrm{\Gamma }$ 相交.

在准线 $\mathrm{\Gamma }$ 上任取一点 $(u,v,w)$, 过该点的母线方程为

$$\frac{x-u}{1}=\frac{y-v}{1}=\frac{z-w}{1},$$

其中 $(x,y,z)$ 为柱面上动点的坐标. 根据提示, 该直线应与 $\mathrm{\Gamma }$ 相交. 故联立方程组

$$\{\begin{array}{r}{u}^2+v^2+w^2=1,\\ u+v+w=0,\\ x-u=y-v=z-w=t.\end{array}$$

从中消去 $u,v,w$. 具体的, 从第三式可得 $u=x-t$, $v=y-t$, $w=z-t$. 代入到前两式, 得

$$\begin{array}{r}(x-t{)}^2+(y-t{)}^2+(z-t{)}^2=1,\\ t=\frac{x+y+z}{3}.\end{array}$$

再消去参数 $t$, 化简整理得柱面方程

$$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{3}{2}.$$