问题及解答

求母线平行于直线 $L:\ x=y=z$, 准线为 $\Gamma$:

\[
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2=1,\\
x+y+z=0,
\end{cases}
\]

的柱面方程.

[Hint] 假设柱面是 $\Sigma$, 则

点 $M\in\Sigma$ 当且仅当过点 $M$ 平行于 $L$ 的直线与 $\Gamma$ 相交.

在准线 $\Gamma$ 上任取一点 $(u,v,w)$, 过该点的母线方程为

\[
\frac{x-u}{1}=\frac{y-v}{1}=\frac{z-w}{1},
\]

其中 $(x,y,z)$ 为柱面上动点的坐标. 根据提示, 该直线应与 $\Gamma$ 相交. 故联立方程组

\[
\left\{
\begin{aligned}
u^2+v^2+w^2=1,\\
u+v+w=0,\\
x-u=y-v=z-w=t.
\end{aligned}
\right.
\]

从中消去 $u,v,w$. 具体的, 从第三式可得 $u=x-t$, $v=y-t$, $w=z-t$. 代入到前两式, 得

\[
\begin{aligned}
(x-t)^2+(y-t)^2+(z-t)^2=1,\\
t=\frac{x+y+z}{3}.
\end{aligned}
\]

再消去参数 $t$, 化简整理得柱面方程

\[
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{3}{2}.
\]