问题及解答

试讨论两个平面 $\pi_1:\ A_1x+B_1y+C_1z=D_1$ 和 $\pi_2:\ A_2x+B_2y+C_2z=D_2$ 的空间位置关系.

空间位置关系取决于线性方程组

\[
\begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z=D_1,\\
A_2x+B_2y+C_2z=D_2,
\end{cases}
\]

的解的情况.

假设系数矩阵为 $A$, 增广矩阵为 $\bar{A}$, 则 $1\leqslant\text{rank}(A)\leqslant 2$, $1\leqslant\text{rank}(\bar{A})\leqslant 2$. 于是, 得

(1) 平面 $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 重合, 即方程组有无穷多解, 并且解空间的维数是 2. 因此充要条件是 $\text{rank}(A)=\text{rank}(\bar{A})=1$.

(2) 平面 $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 平行但不重合, 即方程组无解. 因此充要条件是 $\text{rank}(A)=1$, $\text{rank}(\bar{A})=2$.

(3) 平面 $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 相交成一条直线, 即方程组有无穷多解, 但解空间维数为 1.  因此充要条件是 $\text{rank}(A)=\text{rank}(\bar{A})=2$.