问题及解答

试讨论两直线

\[
L_1:\ \begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z=D_1,\\
A_2x+B_2y+C_2z=D_2,\\
\end{cases}
\quad\text{与}\quad
L_2:\ \begin{cases}
A_3x+B_3y+C_3z=D_3,\\
A_4x+B_4y+C_4z=D_4,\\
\end{cases}
\]

的位置关系.

【Hint】仿照两平面的位置关系, 利用线性方程组的解的性质去刻画.

考虑线性方程组

\[
\begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z=D_1,\\
A_2x+B_2y+C_2z=D_2,\\
A_3x+B_3y+C_3z=D_3,\\
A_4x+B_4y+C_4z=D_4,\\
\end{cases}
\]

记

\[
A=\begin{pmatrix}
A_1 & B_1 & C_1\\
A_2 & B_2 & C_2\\
A_3 & B_3 & C_3\\
A_4 & B_4 & C_4\\
\end{pmatrix},\quad
\bar{A}=\begin{pmatrix}
A_1 & B_1 & C_1 & D_1\\
A_2 & B_2 & C_2 & D_2\\
A_3 & B_3 & C_3 & D_3\\
A_4 & B_4 & C_4 & D_4\\
\end{pmatrix},
\]

则由于 $L_1,L_2$ 是直线, 故 $\text{rank}(A)\geqslant 2$, $\text{rank}{\bar{A}}\geqslant 2$. 另一方面, 显然有 $\text{rank}(A)\leqslant 3$, $\text{rank}{\bar{A}}\leqslant 4$. 于是

(1) 直线 $L_1$ 与 $L_2$ 重合, 即线性方程组有无穷多组解并且解空间的维数为 1, 因此当且仅当 $\text{rank}(A)=\text{rank}(\bar{A})=2$.

(2) 直线 $L_1$ 与 $L_2$ 平行但不重合, 即线性方程组无解, 但注意到两直线平行, 因此当且仅当 $\text{rank}(A)=2$, $\text{rank}(\bar{A})=3$.

(3) 直线 $L_1$ 与 $L_2$ 相交(非重合), 即线性方程组有惟一解, 解空间维数为 0, 因此当且仅当 $\text{rank}(A)=\text{rank}(\bar{A})=3$.

(4) 直线 $L_1$ 与 $L_2$ 为异面直线, 即线性方程组无解, 但注意到两直线不平行, 因此当且仅当 $\text{rank}(A)=3$, $\text{rank}(\bar{A})=4$.