点到平面的距离
在三维欧氏空间中, 求点 $P=(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $\pi:\ Ax+By+Cz+D=0$ 的距离.
公式是
\[
d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
\]
[分析]
如果忘记了公式, 可以这样来分析. 在平面 $\pi$ 上任取一点 $M(x,y,z)$, 只有当 $\overrightarrow{PM}\perp\pi$ 时, $|PM|=d(P,\pi)$.
在三维欧氏空间中, 求点 $P=(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $\pi:\ Ax+By+Cz+D=0$ 的距离.
公式是
\[
d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
\]
[分析]
如果忘记了公式, 可以这样来分析. 在平面 $\pi$ 上任取一点 $M(x,y,z)$, 只有当 $\overrightarrow{PM}\perp\pi$ 时, $|PM|=d(P,\pi)$.
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如【分析】中所述, 设 $\overrightarrow{PM}\perp\pi$ 即 $\overrightarrow{PM}\parallel\vec{n}$, 这里 $\vec{n}$ 是平面 $\pi$ 的法向向量, $\vec{n}=(A,B,C)$. 因此设
\[\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}=t\]
将
\[
\begin{cases}
x=x_0+At,\\
y=y_0+Bt,\\
z=z_0+Ct,\\
\end{cases}
\]
代入平面方程 $Ax+By+Cz+D=0$, 得
\[
A(x_0+At)+B(y_0+Bt)+C(z_0+Ct)+D=0,
\]
得
\[
t=-\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2},
\]
也就是说, 当 $t$ 取这个值时, $|PM|$ 就是点 $P$ 到平面 $\pi$ 的距离. 因此
\[
\begin{split}
d(P,\pi)&=|PM|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}\\
&=\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot |t|\\
&=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
\end{split}
\]