问题及解答

设曲线 $C$ 是由 $y=\sqrt{x^2-1}$ 和 $y=x^2-1$ 围成的封闭曲线.

求曲线 $C$ 的外法向量 $\vec{n}$.

【Hint】这里 $y=\sqrt{x^2-1}$ 的图像是双曲线在 $x$ 轴的上半平面中的部分, 与抛物线 $y=x^2-1$ 的围成的封闭曲线有两条, 关于 $y$ 轴对称. 因此只需考虑 $y$ 轴右侧部分的曲线即可.

【Hint】一般的, 设平面上的曲线为 $\gamma=(x(t),y(t))$. 则其切向量为 $\dot{\gamma}=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$. 根据所围成的区域判断其外法向向量.

向量 $\vec{v}=(x,y)^T$ 如果逆时针旋转 $\theta$, 得到 $\vec{w}$, 即

\[
\vec{w}=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\]

如果曲线的外法向量是由切向量逆时针旋转 $\pi/2$ 得到, 则

\[
\vec{n}=\begin{pmatrix}
\cos\frac{\pi}{2} & -\sin\frac{\pi}{2}\\
\sin\frac{\pi}{2} & \cos\frac{\pi}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{x}(t)\\
\dot{y}(t)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{x}(t)\\
\dot{y}(t)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-\dot{y}(t)\\
\dot{x}(t)
\end{pmatrix}
\]

如果是由切向量顺时针旋转 $\pi/2$, 则 $\vec{n}=(\dot{y}(t),-\dot{x}(t))$.