问题及解答

椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 与过坐标轴的平面所截的曲线是否可以是圆?

这里假设 $a > b > c$.

考虑过 $y$ 轴的平面, 不妨设为 $z=kx$. (平面 $x=0$ 显然不是所截的不是圆.)

将 $z=kx$ 代入椭球面方程, 得

\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{k^2x^2}{c^2}=1.
\]

推出

\[
y^2=b^2-b^2(\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{c^2})x^2.
\]

从而

\[
\begin{split}
x^2+y^2+z^2&=x^2+b^2-b^2(\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{c^2})x^2+k^2x^2\\
&=b^2+\biggl[1-\frac{b^2}{a^2}+(1-\frac{b^2}{c^2})k^2\biggr]x^2,
\end{split}
\]

由于 $a > b > c$, 所以当 $k^2=\frac{(a^2-b^2)c^2}{a^2(b^2-c^2)}$ 时, $x^2+y^2+z^2=b^2$.

也就是可以截得两个圆.

注意: 过 $x$ 轴或 $z$ 轴的平面都无法截得圆. (因为 $a > b > c$.)

更一般的, 参见问题1670.