问题及解答

讨论三个平面

\[
\begin{aligned}
\pi_1:\ A_1 x+B_1 y+C_1 z=D_1,\\
\pi_2:\ A_2 x+B_2 y+C_2 z=D_2,\\
\pi_3:\ A_3 x+B_3 y+C_3 z=D_3,\\
\end{aligned}
\]

的位置关系, 画出图形, 并说明理由.

设

\[
A=
\begin{pmatrix}
A_1 & B_1 & C_1\\
​A_2 & B_2 & C_2\\
​A_3 & B_3 & C_3\\
\end{pmatrix},\quad \bar{A}=
\begin{pmatrix}
A_1 & B_1 & C_1 & D_1\\
​A_2 & B_2 & C_2 & D_2\\
​A_3 & B_3 & C_3 & D_3\\
\end{pmatrix}.
\]

其中 $A$ 的行向量对应平面的法向量, 分别记作 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$. 记 $\bar{A}$ 的行向量为 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$. 则 $1\leqslant\mathrm{rank}(A)\leqslant\mathrm{rank}(\bar{A})\leqslant 3$, 且 $\mathrm{rank}(\bar{A})\leqslant\mathrm{rank}(A)+1$.

(1) 如果 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(\bar{A})=1$, 则三平面重合.

(2) 如果 $\mathrm{rank}(A)=1,\mathrm{rank}(\bar{A})=2$, 则三平面平行, 且又分两种情况:

• 当 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 两两线性无关时, 三平面平行且互异;
• 当 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 有两个线性相关时, 三平面平行, 但其中两平面重合.

(3) 如果 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(\bar{A})=2$, 则方程组的导出组的解空间是一维线性空间, 从而三平面交于一条直线, 且又分两种情况:

• 当 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 两两线性无关时, 三平面互异且交于一条直线;
• 当 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 有两个线性相关时, 两平面重合, 且与第三平面交于一条直线.

(4) 如果 $\mathrm{rank}(A)=2,\mathrm{rank}(\bar{A})=3$, 则方程组无解. 由于 $\mathrm{rank}(A)=2$, 故 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 共面, 且有两个向量不共线. 此时又分两种情况:

• 当 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 两两线性无关时, 三平面两两相交于不同直线;
• 当 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 中有两个线性相关时, 则两平面平行, 且与第三平面交于一条直线.

(5) 如果 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(\bar{A})=3$, 则方程组有唯一解, 从而三平面互异且交于一点.