问题及解答

设 $L_1$ 和 $L_2$ 是空间中两异面直线. 设在标准直角坐标系下直线 $L_1$ 过坐标为 $a$ 的点, 以单位向量 $v$ 为直线方向; 直线 $L_2$ 过坐标为 $b$ 的点, 以单位向量 $w$ 为直线方向.

(1) 证明: 存在唯一的点 $P\in L_1$ 和 $Q\in L_2$, 使得两点连线 $PQ$ 同时垂直于 $L_1$ 和 $L_2$.

(2) 求 $P$ 和 $Q$ 的坐标(用 $a,b,v,w$ 表示).

$L_1$ 与 $L_2$ 的方程如下

\[
L_1:\ \{a+vt\mid t\in\mathbb{R}\},\quad L_2:\ \{b+ws\mid s\in\mathbb{R}\}.
\]

记 $P_t=a+vt$, $Q_s=b+ws$. 则 $\overline{P_t Q_s}=Q_s-P_t=(b+ws)-(a+vt)=(b-a)+ws-vt$.

假设 $\overline{P_t Q_s}\perp L_1$, $\overline{P_t Q_s}\perp L_2$, 则有

\[
\begin{cases}
\langle(b-a)+ws-vt,\ v\rangle=0,\\
\langle(b-a)+ws-vt,\ w\rangle=0.\\
\end{cases}
\]

整理得

\[
\begin{cases}
\langle w, v\rangle s-|v|^2 t=\langle(a-b),\ v\rangle,\\
|w|^2 s-t\langle v, w\rangle=\langle(a-b),\ w\rangle.\\
\end{cases}
\]

这是关于 $s,t$ 的一个线性方程组. 其系数矩阵的行列式为

\[
D=\begin{vmatrix}
\langle w, v\rangle & -|v|^2\\
|w|^2 & -\langle v, w\rangle
\end{vmatrix}=-\langle v, w\rangle^2+|v|^2\cdot |w|^2
\]

由于 $L_1$ 与 $L_2$ 是异面直线, 因此 $D=|v|^2\cdot |w|^2 -\langle v, w\rangle^2 > 0$. 即该线性方程组存在惟一解. (也就是说, 上面假设是成立的. 存在惟一的点 $P,Q$, 使得直线 $PQ$ 为 $L_1$ 和 $L_2$ 的公垂线.)

\[
s=\frac{1}{D}\begin{vmatrix}
\langle (a-b),v\rangle & -|v|^2\\
\langle (a-b),w\rangle & -\langle v,w\rangle\\
\end{vmatrix}=\frac{|v|^2\langle a-b,w\rangle-\langle v,w\rangle\langle a-b,v\rangle}{|v|^2 |w|^2 -\langle v,w\rangle^2}.
\]

\[
t=\frac{1}{D}\begin{vmatrix}
\langle v,w\rangle & \langle (a-b),v\rangle \\
|w|^2 & \langle (a-b),w\rangle \\
\end{vmatrix}=\frac{\langle v, w\rangle\langle a-b,w\rangle-|w|^2 \langle a-b,v\rangle}{|v|^2 |w|^2 -\langle v,w\rangle^2}.
\]

这里 $v,w$ 为单位向量, 所以 $|v|=|w|=1$, 因此, 可以简化为

\[
\begin{aligned}
s=\frac{\langle a-b,w\rangle-\langle v,w\rangle\langle a-b,v\rangle}{1-\langle v,w\rangle^2},\\
t=\frac{\langle v,w\rangle\langle a-b,w\rangle-\langle a-b,v\rangle}{1-\langle v,w\rangle^2}.\\
\end{aligned}
\]

因此

\[
\begin{aligned}
P=a+vt=a+\frac{\langle b-a,\ v-\langle v,w\rangle w\rangle}{1-\langle v,w\rangle^2}v,\\
Q=b+ws=b+\frac{\langle a-b,\ w-\langle v,w\rangle v\rangle}{1-\langle v,w\rangle^2}w.
\end{aligned}
\]